電磁気学を深く理解するための数学

F: 第9章電磁気学に必要な微分幾何

微分幾何は、電磁気学とは別の物理理論ではありません。Gaussの法則やStokesの定理で何を積分しているか、座標を変えても何が保存されるか、材料則がどこへ入るかを、曖昧なく記述するための数学です。学部編で動かした電位、電界、磁力線、ベクトルポテンシャルを、微分形式、計量、座標変換の言葉で捉え直し、その重要応用としてローレンツ力、Maxwell応力、磁気コエネルギーによる電磁力を学びます。節点力への離散化、有限要素法、仮想仕事、位相自由度、誤差評価は、G編「有限要素法」へ渡します。

学部編で先に理解する量	微分形式での読み方	積分する対象
電位 $V$	0-form	点で値を読む
電界の循環 $\vec E\cdot d\vec\ell$	1-form	曲線に沿って積分する
電気束 $\vec D\cdot\vec n\,dS$	2-form	面を貫いて積分する
電荷 $\rho\,dV$	3-form	体積にわたって積分する

二編の学習の見通し

式を抽象化すること自体が目的ではありません。電圧は線に沿って測り、磁束は面を貫いて測るという電磁気の具体像から出発し、連続な場の保存構造を壊さず有限要素法へ渡すまでを、可視化と式の対応から学びます。

動く具体例から式へ進む

微分幾何は記号だけを追うと、何を測り、何が保存されるのかを見失いやすい分野です。本教材では各回の中心となる動く例を、次の順で使います。

1　具体像を持つ地球儀、曲線トラック、等高線、風船、輪ゴムなど、数式の前に動かす対象を思い浮かべます。

2　変化を確かめるスライダーを動かす前に、何が変わり、何が保存されるかを言葉で確かめます。

3　操作して観察する形だけでなく、積分値、残差、固有値、エネルギー、誤差などの数値も同時に追います。

4　式で説明する観察した不変量と変化量を、引き戻し、Hodge star、外微分、弱形式などの式へ戻します。

第1–3回　幾何の言語座標・引き戻し・Hodge starから、線に沿う量と面を貫く量を区別します。

第4–6回　場とポテンシャル流れ関数、2次元Hodograph、3次元Clebschポテンシャルへ進みます。

F-7　変換と向きPullbackとKelvin変換を通じ、線積分、磁束、エネルギーの保存と向きの符号を整理します。

F-8　幾何代数幾何積と擬スカラー $I$ を使い、twisted formを別型にせず向きの符号を保持する方法を3Dで整理します。

F応用　電磁力ローレンツ力、Maxwell応力、磁気コエネルギーを同じ合力へ結び、G-4の節点力へ渡します。

第10章　有限要素法FEM基礎から弱形式、Whitney形式、離散Hodge、仮想仕事と節点力、位相、誤差、適応解析へ進みます。

修士課程の共通読解軸

毎回、次の5問へ自分の言葉で答える

Canvasを動かして終わりにはしません。観察した電磁気現象を式で説明し、FEMの結果が正しいかを別の量で検算し、自分の研究問題へ使えるところまで進みます。

何を測っているか。未知量は点の値か、線積分か、面積分か、体積積分か。何-formとして、どの幾何学的対象へ積分するかを答えます。
どの保存則か。外微分 $d$ が表すMaxwell方程式を特定し、湧き出し、循環、境界のどれを保存しているかを答えます。
何が材料と形状に依存するか。長さ、角度、体積、誘電率、透磁率など、計量と材料がHodge starへ入る場所を答えます。
何が変換後も保存されるか。座標変換のpullback、向き、穴を回る周期を区別し、線積分・磁束・エネルギーのどれが保たれるかを答えます。
計算間違いをどう発見するか。残差、周期、エネルギー正値性、Jacobian、上下界、$\boldsymbol C\boldsymbol G=\boldsymbol0$ など、その回とは別の診断量で判定します。

二編を終えたときの到達判定

一つの電磁石を選び、積分形Maxwell方程式から未知量のform次数と適合空間を決め、位相的な接続と材料Hodgeを分けて弱形式を組み立てます。計算後は、同じ式を見直すだけでなく、保存則、周期、エネルギー、相補上下界のうち独立な量で結果を検算し、必要なh細分またはp高次化を選べれば到達です。

二編を貫く量の地図

微分形式の次数は、量を積分する幾何学的対象と対応します。ただし、次数だけでは不十分です。Bossavitのorientation-freeな定式化では、通常のpullbackで変換する straight form と、向きの情報も持つ twisted form を区別します。twisted formは、ordinary form $\omega$ と空間の向き $\mathrm{Or}$ の組を

\widetilde\omega=[(\omega,\mathrm{Or})] =\left\{(\omega,\mathrm{Or}),(-\omega,-\mathrm{Or})\right\}

という同値類にしたものです。向きを選ばないまま積分や構成則を記述できる、理論的に最も素直な定式化です。外微分 $d$ は次数を一つ上げながらstraight/twistedの別を保ち、計量Hodge $\widetilde{\star}_g$ は両者を入れ替えながら相補的な次数を結びます。

幾何学的対象	次数	intrinsicなstraight form	intrinsicなtwisted form	直接積分する量
点	0-form	電位 $V$、流れ関数 $T$、Clebschポテンシャル $\alpha,\beta$	磁気スカラーポテンシャル $\widetilde\Phi_m$	値そのもの
曲線	1-form	電界 $\mathcal E$、磁気ベクトルポテンシャル $\mathcal A$	磁界 $\widetilde{\mathcal H}$	$\int_C\mathcal E$、$\int_C\widetilde{\mathcal H}$
面	2-form	磁束密度 $\mathcal B$	電束密度 $\widetilde{\mathcal D}$、電流密度 $\widetilde{\mathcal J}$	$\int_S\mathcal B$、$\int_S\widetilde{\mathcal D}$、$\int_S\widetilde{\mathcal J}$
体積	3-form	orientationを選んだ体積形式	電荷密度 $\widetilde\varrho$、エネルギー密度 $\widetilde{\mathcal U}_m=\mathcal B\wedge\widetilde{\mathcal H}/2$	$\int_\Omega\widetilde\varrho$、$W_m=\int_\Omega\widetilde{\mathcal U}_m$
計量・材料	parity-changing Hodge	$\widetilde{\mathcal D}=\widetilde{\star}_{\varepsilon}\mathcal E$、$\mathcal B=\widetilde{\star}_{\mu}\widetilde{\mathcal H}$		straightとtwistedの対応

ここでtwisted 3-formなのは空間上のエネルギー密度 $\widetilde{\mathcal U}_m$ です。正の体積密度を選んで $\widetilde{\mathcal U}_m=w_m\widetilde{\mathrm{vol}}_g$ と分けた係数 $w_m$ は0-form、積分後の全エネルギー $W_m$ は実数です。さらに $W_m(q)$ と書くときは、物理空間ではなく配置空間上のスカラー関数を意味します。

本教材と我々の手法では、ここから計算規約を簡単にします。各領域で右手系を一度選び、twisted formの同値類からその向きに対応するordinary formだけを取り出します。以後の式に現れる $\Phi_m,\mathcal H,\mathcal D,\mathcal J,\varrho,\mathcal U_m$ は、この右手系代表です。領域内部ではすべて普通の微分形式として計算し、同値類を式ごとに書き下しません。

代償として、異なる領域を写像 $g$ で対応させるときだけ符号表を使います。intrinsicにstraightな量は $\eta=g^*\eta'$、intrinsicにtwistedな量の右手系代表は $\omega=s_g\,g^*\omega'$、$s_g=\operatorname{sgn}(\det\boldsymbol Dg)$ です。したがって右手系どうしの通常の変換では追加処理がなく、向きを反転するKelvin変換だけで $s_g=-1$ を掛けます。これはBossavitの理論を近似する操作ではなく、向きの束を右手系で自明化した記法上の妥協です。全回で使う検算は、$d^2=0$、$g^*(d\omega)=d(g^*\omega)$、符号表の整合、$\int_\Omega\omega\wedge\star_g\omega\ge0$ というエネルギーの正値性です。

幾何代数ではtwisted専用型を持たない

F-8では、この右手系代表の運用を幾何代数でさらに明示します。三次元ユークリッド空間で計量と右手系を選ぶと、straight $p$-formはgrade $p$、twisted $p$-formは擬スカラー $I$ による双対を通したgrade $3-p$のmultivectorとして、同じ代数の中に保持できます。

\text{straight }p\text{-form}\longleftrightarrow\langle M\rangle_p, \qquad \text{twisted }p\text{-form}\longleftrightarrow\langle M\rangle_{3-p}

したがって領域内ではtwisted用の別データ型を持つ必要がありません。ただし向きの情報は消えず、単位擬スカラー

I=\vec e_x\vec e_y\vec e_z, \qquad \underline Q(I)=\det(Q)I

に残ります。回転では $\det(Q)=+1$、鏡映やKelvin変換では $\det(Q)=-1$ です。負号は領域を結ぶ写像で一度だけ入れ、材料定数を負にしたり、左手系の座標軸を描いたりしません。F-8の3D比較では、同じ右手系の中で $Q(BI^{-1})$ と $B'I^{-1}$ を並べ、鏡映時だけ両者が反対向きになることを操作できます。

学部電磁気学からの橋渡し

学部で見た量・法則	二編での読み替え	対応する回
線積分・アンペールの法則	1-formを経路へ引き戻して積分する	F-1・F-2
曲面の曲率と閉曲線	接ベクトルの平行移動を追い、ホロノミーを曲率2-formの面積分として読む	F-2
電界と電束、磁界と磁束	Hodge starで1-formと2-formを結ぶ	F-3
表面電流とベクトルポテンシャル	流れ関数の等値線を巻線へ変換する	F-4
磁極・磁束線・飽和	場の座標を使い分け、材料非線形を既知係数へ移して数値解と照合する	F-5
3次元磁束線	2つのClebsch等値面の交線として磁束線を表す	F-6
開境界・外場	Pullback/Kelvin変換で有限エネルギーの反作用場と材料を有限領域へ写す	F-7
内積・外積・軸性ベクトル・向き	幾何積を分解し、twisted専用型を擬スカラー $I$ のparityへ集約する	F-8
有限要素法の基礎	要素補間、組立て、境界条件、辺要素を動かす	G-1
磁気ベクトルポテンシャル・逆Hodograph	弱形式、境界項、ゲージに加え、Q1最小二乗・組立て・零空間を診断する	G-2
材料則・有限要素法	Whitney形式と離散Hodgeで位相と材料を分離する	G-3
ローレンツ力・Maxwell応力・磁気コエネルギー	体積力、閉曲面の面力、エネルギー微分を同じ合力へ結び付ける	F応用
電磁力の節点力	仮想変位を形状関数で離散化し、要素節点力と全体の合力を照合する	G-4
磁性体の局所変形と仮想仕事	1-formと2-formの変換則から仮想仕事を導き、FEMの節点力へ組み立てる	G-5
穴を回る磁界と多価ポテンシャル	cohomology、切断面、tree-cotreeゲージで大域循環を離散化する	G-6
有限要素解の保証付き評価	curl側とdiv側の許容場を相補させ、磁気抵抗の上下界で解を挟む	G-7
高次階層基底と適応解析	NGSolveの基底を確認し、局所指標からh細分・p次数上昇を選ぶ	G-8
開境界と外部領域の縮約	Dirichlet traceをNeumann traceへ写すDtN作用素をFEM弱形式へ組み込む	G-9