3Dで学ぶ電磁気学

F-2 曲線への引き戻し

線積分では、空間に定義された1-formを、積分経路を表す1変数の区間へ移します。この操作が引き戻しです。曲線上を動く点、接ベクトル、1-formが接ベクトルを測る値を同時に表示します。

まず30秒でつかむ

• 電界の線積分では、電界のうち経路に沿う成分だけが仕事をします。横向きの成分は線積分へ入りません。
• Pullbackは、3次元の曲線を媒介変数 $t$ の直線へほどき、$\omega(\vec\gamma'(t))dt$ という普通の1変数積分へ変える操作です。
• 図では点を動かし、曲線の接ベクトルと1-formの組合せが積分値になることを確認します。フレネ標構は、その接方向が空間内でどう曲がるかを追う物差しです。
• 紙を伸び縮みさせず円筒へ曲げると、法線は回る一方で、曲面上の距離と角度は変わりません。外在的な曲がりと内在的な曲がりを分けて観察します。
• 同じ局所格子を平面・円筒・球面・擬球面へ置き、測地円の周長・面積のずれと角度欠損から、正・零・負のGauss曲率を内在的に測ります。
• 曲面上の曲線の曲率を測地的曲率と法曲率へ分け、展開図で直線になる円筒上のらせんが測地線である理由を確かめます。
• 共形計量の尺度 $\lambda$ から $K$ を求め、負曲率面の測地線をFermatの原理による光線として読みます。
• Gauss写像で曲面の法線を単位球面へ移すと、その符号付き面積倍率が $K=k_1k_2$ になります。球・円筒・平面・鞍面で、像が面・線・点のどれになるかを比較します。
• 一次三角形で作る曲面では各面の内部曲率が零でも、頂点を囲む角度の不足または超過 $\delta_v$ が非零です。凸・平面・鞍型で、展開図と向き付き球面像が正・零・負へ変わることを確かめます。
• 合同な三角形を辺でヒンジ変形すると、外形、面法線、一般化Gauss像の形は変わりますが、内角、角度欠損、球面像面積は変わりません。多面体版の驚異の定理として比較します。
• Gauss--Bonnetの収支を、滑らかな境界では面曲率と測地曲率、角をもつ測地三角形では面曲率と頂点外角に分けて読みます。
• 曲面上で接ベクトルの向きを変えずに運んでも、閉曲線を一周すると出発時から回転することがあります。その回転角（ホロノミー）は、囲んだ面のGauss曲率の積分で決まります。
• 接標構を局所的に回すと接続1形式の係数は変わりますが、曲率2形式と閉路のホロノミーは変わりません。Cartanの二つの構造方程式で、この局所量と大域量を結びます。
• 同じ点からほぼ同じ向きに出た二本の測地線は、正曲率で再収束し、零曲率で線形に離れ、負曲率で急速に離れます。Jacobi場はこの近接測地線の一次変化を測ります。

式を読む順番

1. 経路 $\vec\gamma(t)$ を決めると、その微分 $\vec\gamma'(t)$ が進行方向を与えます。

2. 1-form $\omega$ は、その進行方向を入れた値 $\omega(\vec\gamma'(t))$ だけを読みます。

3. Pullback $\vec\gamma^{\,*}\omega$ は、この値に $dt$ を付け、曲線上の問題を媒介変数軸上の積分へ移します。

4. 可視化では、空間の矢印全部ではなく、接線方向へ射影された成分が仕事へ寄与することを確認します。

この回の到達点

1. 写像 $\vec{\gamma}:I\to\mathbb{R}^3$ による1-formの引き戻しを計算できる。

2. 線積分が曲線の接方向成分だけを読むことを説明できる。

3. フレネ標構 $(\vec{T},\vec{N},\vec{B})$ と曲率・捩率を粒子軌道へ結び付けられる。

4. 円筒の外在的曲率が非零でも、内在的なGauss曲率が零になる理由を計量から説明できる。

5. 測地円の周長・面積のずれと測地三角形の余剰角度から、局所的なGauss曲率を復元できる。

6. 滑らかな境界と角をもつ境界で、Gauss--Bonnetの面・辺・頂点項がどう分担するか説明できる。

7. 球面上の平行移動を追い、一周後のホロノミーを曲率2-formの面積分として読める。

8. 接続1形式のゲージ依存性と、曲率2形式・閉路ホロノミーのゲージ不変性を区別できる。

9. Jacobi方程式を正・零・負曲率で解き、Riemann曲率、測地線偏差、磁力線、波動伝搬の役割を区別できる。

10. Gauss写像の符号付き面積倍率を $K=k_1k_2$ と読み、等長変形で $K$ が保たれる理由を説明できる。

11. 多面体曲面の頂点で、角度欠損、集中曲率、向き付き一般化Gauss像の球面面積が同じ量になり、凸・平面・鞍型で正・零・負へ変わることを説明できる。

12. 合同な三角形starのヒンジ変形で、外在形状とGauss像の形が変わっても、内在角度欠損と球面像面積が不変になる理由を説明できる。

13. 一般の線形写像の特異値分解と形作用素の対称性を比べ、主方向が直交する理由を説明できる。

可視化 F-2-1 1-formを曲線へ移す

曲線 $\vec{\gamma}:I\to\mathbb{R}^3$ と1-form $\omega$ に対して、引き戻しは

で定義されます。今回のらせんを

とし、

を選ぶと、

となる理由を成分で書くと、

である。$h$ はらせんの高さ方向と接ベクトルの $z$ 成分を変えるが、今回の $\omega$ には $dz$ 成分がないため、その変化を測らない。

となります。

初期状態では $h=0.25$ のらせんだけを見る。操作後は灰色の基準を残して $h=0.65$ を青で重ね、青い全接ベクトル、水色の $xy$ 成分、紫の高さ成分、金色の $\omega^{\sharp}$ を読む。$t$ を動かすと $\sin^2t$ と $\cos^2t$ の分担は変わるが、和は1のままである。

曲線が運ぶ座標系：フレネ・セレ標構

引き戻しをもう一歩深く読むために、曲線自身が運ぶ正規直交座標系を用意します。弧長 $s$（$|d\vec{\gamma}/ds|=1$ となる測り方）で曲線をパラメータ表示し直すと、曲率 $\kappa\ne0$ の区間にフレネ・セレ標構 $(\vec{T},\vec{N},\vec{B})$ を定義できます。直線部や変曲点では $\vec N$ がこの定義からは定まらないため、必要ならBishop標構などを使います。

$\vec{T}$ は単位接ベクトル、$\vec{N}$ は曲がる向き（主法線）、$\vec{B}$ は両者に垂直な従法線です。標構の変化はフレネ・セレの公式にまとまります。

$\kappa$ が曲率（曲がりの強さ。接触円の半径 $\rho$ の逆数 $\kappa=1/\rho$）、$\tau$ が捩率（曲線が平面から浮き上がる速さ）です。係数行列が歪対称であることは、標構が伸び縮みせず回転だけすることを意味します。その回転の角速度ベクトルがDarbouxベクトル $\vec{\omega}_D$ です。

平面曲線では接線の偏角を $\psi(s)$ として $\vec T=(\cos\psi,\sin\psi)$ と書けるので、符号付き曲率は単に接線の回転率です。

一般の媒介変数 $t$ で $\vec\gamma(t)=(x(t),y(t))$ と書けば、Newtonの曲率公式は

となります。関数のグラフ $y=f(x)$ なら $\kappa_{\mathrm{sgn}}=f''/(1+f'^2)^{3/2}$ です。空間曲線のFrenet曲率 $\kappa=\lVert d\vec T/ds\rVert$ はこの絶対値に対応し、曲率円は半径 $1/\kappa$ で局所的に曲線を二次まで近似します。つまり「曲率円」「接線の回転率」「Newton公式」は、同じ局所量を三つの角度から読んでいます。

上で使ったらせん $\vec{\gamma}(t)=(a\cos t,\,a\sin t,\,h(t-\pi))$ は、$\kappa$ と $\tau$ が一定の曲線です。

$h=0$ とすれば円（$\kappa=1/a$、$\tau=0$、$\vec{B}$ は一定方向）に戻ります。逆に「$\kappa,\tau$ が一定の曲線はらせんに限る」ことも知られており、$\kappa,\tau$ は曲線を剛体運動を除いて決める形状不変量です。「材料定数」ではなく、曲線そのものの曲がり方と捩れ方を表す量です。

このページでは、フレネ標構の副法線と電磁気の磁束密度がどちらも慣習的に $\vec B$ と書かれます。混同を避けるため、可視化F-2-2では副法線を $\vec B_{\mathrm F}$ と表示します。後の磁気剛性の節で使う $\vec B$ は磁束密度です。

引き戻しはフレネ標構のT成分だけを読む

計量でベクトル $\vec{F}$ を1-formに対応させる操作を $\flat$（フラット）、その逆を $\sharp$（シャープ）と書きます。フレネ標構の3本を1-formにした $\vec{T}^{\flat},\vec{N}^{\flat},\vec{B}^{\flat}$ を曲線に引き戻すと、きれいに役割が分かれます。

接ベクトルは $\vec{T}$ 方向なので、$\vec{N}^{\flat}$ と $\vec{B}^{\flat}$ は接ベクトルを測るとゼロになるからです。したがって任意の1-form $\omega$ を、対応するベクトル $\vec{F}=\omega^{\sharp}$ のフレネ分解 $\vec{F}=F_T\vec{T}+F_N\vec{N}+F_B\vec{B}$ で書くと、引き戻しに生き残るのは1成分だけです。

引き戻しとは「フレネ標構のT成分だけを読み出すフィルタ」です。電界の仕事 $\int_{\vec{\gamma}}\mathcal{E}=\int E_T\,ds$ では、$\vec{N},\vec{B}$ 成分の電界は線積分に一切寄与しません。F-1の言葉と合わせると、「長さ $ds$ をどう測るか」は計量が、「どの成分を読むか」はフレネ標構が担当している、と整理できます。

電磁気に現れるフレネ標構：粒子ビームとBρ

フレネ標構が電磁気で最も活躍するのは、磁場中の荷電粒子の軌道です。磁気力は速度に垂直なので、速さ（運動量の大きさ $p$）を変えずに向きだけを変えます。運動量 $\vec{p}=p\vec{T}$ を運動方程式に入れ、$d\vec{T}/dt=v\,d\vec{T}/ds=v\kappa\vec{N}$ を使うと

となります。左辺は $\vec{N}$ 方向です。磁気力だけで運動する区間では、主法線の向きは $q\vec T\times\vec B$ の向きとして決まります。磁場の軌道に垂直な成分の大きさを $B_\perp$ とすれば、大きさの関係は

これが加速器設計の第一式、磁気剛性の大きさ $B\rho=p/|q|$ です（学部編第6回の円運動の別の顔）。符号付きの曲率や偏向方向は電荷 $q$ の符号と磁場の向きで別に管理します。偏向電磁石の設計とは「望む曲率を作る垂直磁場成分 $B_\perp$ を用意する」ことにほかなりません。一様磁場中で磁場に平行な速度成分が残っていれば軌道はらせんになり、捩率 $\tau$ が現れます。さらに「磁気力が仕事をしない」という事実も、引き戻しの言葉で1行になります。力のT成分がゼロなので、仕事の1-formを軌道へ引き戻した値もゼロです。

もうひとつの登場場面はビオ・サバールの法則（学部編第7回）です。電流経路の線素 $d\vec{\ell}'=\vec{T}\,ds$ は単位接ベクトルそのもので、G-3で扱うリッツ線の素線方向の場 $\vec{t}(\vec{x})$ は、らせん（一定の $\kappa,\tau$）の族が作るフレネの $\vec{T}$ の場です。

可視化 F-2-2 フレネ標構と接触円

$a=1$ の円 $h=0$ から、ピッチ $h=0.60$ のらせんへ変えます。ピッチが高くなることと、局所的に強く曲がることは同じではありません。$\kappa$、$\tau$、$\rho=1/\kappa$、引き戻し係数 $\vec F\cdot\vec T\,|\vec\gamma'|$ の変化をまず図を動かして確かめてください。

青が $\vec{T}$、赤が $\vec{N}$、緑の $\vec B_{\mathrm F}$ がフレネ副法線、橙の円が接触円（半径 $\rho=1/\kappa$）です。緑はこの図では磁束密度ではありません。位置 $t$ を動かすと標構が曲線に乗って回転します。この図の範囲 $0\le h<a=1$ では、$h$ とともに $\kappa=1/(1+h^2)$ は減少し、$\tau=h/(1+h^2)$ は増加します。一般には $\tau$ は $h=a$ で最大となり、それより大きい $h$ では減少します。$h=0$ の円では $\vec B_{\mathrm F}$ は固定です。金色の矢印は可視化2-1と同じ $\omega^{\sharp}$ で、その $\vec{T}$ への射影（灰色の線）だけが引き戻しに寄与します。読み出し値 $F\cdot T\,|\gamma'|$ が $h$ によらず常に $1.00$ のままであることが、$\int_{\vec{\gamma}}\omega=2\pi$ が円でもらせんでも変わらない理由です。

保存則・検算と次への接続

向きを保つ媒介変数変換 $t=\varphi(s)$ に対して $\widetilde\gamma=\gamma\circ\varphi$ とすると、引き戻しの合成則から

です。電位 $V$ から作る完全1-form $dV$ なら、経路の形にも依存せず

となります。数値積分では、同じ曲線を異なる分割・速度でたどって同じ値になるかを確認すると、接線と区間長の扱いを検算できます。F-1の尺度因子はこの接線長へ入り、次のF-3では1-formを面に対応する2-formへ写すHodge starへ進みます。

可視化 F-2-3 曲面への2-formの引き戻し

曲面写像

へ磁束2-formを引き戻すと、曲面上の積分は媒介変数平面上の積分へ変わります。

振幅 $a$ を動かすと曲面の面積は増えますが、向き付き面要素は常に二本の接ベクトルの外積で決まります。

可視化 F-2-4 半径を変えても残る線積分

原点を除く平面で1-form

を考えます。原点を $n$ 回まわる曲線 $\gamma(t)=R(\cos 2\pi nt,\sin 2\pi nt)$ へ引き戻すと

となり、積分値は半径 $R$ ではなく巻き数 $n$ で決まります。半径と巻き数を別々に動かし、左の曲線の大きさと右の累積積分を見比べてください。

可視化 F-2-5 修士演習：再媒介化と数値積分を同時に検算する

最初のイメージ。 同じ円形トラックを、前半はゆっくり、後半は速く歩く場面を考えます。一定時間ごとに写真を撮れば、写真の点は遅い場所へ密集します。しかし一周の道筋も、道に沿って測った総量も変わりません。再媒介化では、この「点の並び方」と「その点での被積分関数」は変わりますが、両者を掛け合わせて足した線積分は同じになります。

同じ円周を $t^p$ の速さでたどると、空間内の経路は同じでも、媒介変数区間上の被積分関数は変わります。

指数 $p$ を変えると $2\pi p t^{p-1}$ の形と、円周上の標本点の密度は大きく変わります。これを $N$ 分割の合成中点則で積分すると、

です。$p\lt1$ では $t=0$ 近傍へ、$p\gt1$ では $t=1$ 近傍へ被積分関数が偏るため、同じ $N$ でも誤差が変わります。Canvasは厳密値を表示するだけではなく、この和を毎回計算します。

動かして確かめる順序。 まず $p=1$ にして、標本点が円周上へ等間隔に並ぶことを確認します。次に $N$ を固定したまま $p=3$ を図を動かして選び、点が片側へ寄ることと、引き戻した係数が反対側で大きくなることを対応させます。そのまま $N$ を増やし、局所分布を変えずに積分誤差だけが減るかを見ます。最後に $p<1$ を試し、局所量が大きく変わっても極限値が $2\pi$ に戻る理由を、$\gamma_p^*\omega$ の式で説明してください。

左の緑点は等間隔の $t_j$ を空間へ写した点です。右上は引き戻した1-formの係数、右下は厳密な累積積分と中点則の階段です。$p$ を動かすと局所量は変わり、$N$ を増やすと終点の誤差が減ります。再媒介化不変性は、被積分関数が不変という意味ではなく、微分 $dt$ まで含めた積分が不変という意味です。

橋渡し可視化 F-2-B1 見た目が曲がっても、内在的には平らなのか

平面上の座標を $(u,v)$ とし、紙を伸び縮みさせず曲率 $\kappa$ の円筒へ曲げる写像を

とします。$\kappa\to0$ で平面へ連続的に戻ります。この写像の接ベクトルは

です。したがって、計量と線素は曲げても

のままです。したがって、平面上で測った辺長と角度は、円筒へ曲げても変わりません。円筒では法線 $\vec n$ が場所ごとに回るので、3次元空間から見ると確かに曲がっています。それでもGauss曲率は計量だけで決まる内在量であり、平面と同じ

です。三角形 $ABC$ と格子を見ながら紙を曲げ、橙色の法線は回るのに、辺長・内角和・Gauss曲率は変わらないことを確かめてください。

動かして確かめる順序。 まず平面で三角形と法線を確認し、曲げ量を100%まで増やします。法線の間の角は増えますが、三角形の内角和は $180^\circ$、$K=0$ のままです。次に図を回し、斜辺が3次元空間ではらせん状に見えても、展開図では直線であることを読み取ります。

補足 F-2-B2 測地線は曲面の住人にとっての「まっすぐ」である

曲面上の単位速度曲線 $\vec\gamma(s)$ に沿う接線 $\vec T=d\vec\gamma/ds$ の変化は、曲面に接する成分と法線成分へ直交分解できます。$\vec n$ を曲面の単位法線、$\vec e_g=\vec n\times\vec T$ を曲面内で進行方向に直交する単位ベクトルとすると、

です。$k_g$ が測地的曲率、$k_n$ が法曲率です。曲面の住人が測れる曲がりは $k_g$ であり、$k_n$ は周囲の3次元空間から見た曲面自体の曲がりです。測地線は

を満たすので、加速度は曲面法線方向だけを向きます。これは局所的には長さを停留させる経路ですが、十分長い区間まで常に最短とは限りません。球面の大円では、対蹠点を越えると別の短い弧が存在するからです。

前のF-2-B1で平面の斜線を円筒へ等長に巻くと、空間内ではらせん状に見えます。しかし展開図では直線のままなので $k_g=0$、したがって円筒上の測地線です。細くまっすぐなテープを伸縮させず曲面へ転がす作図でも、中心線の内在的な曲がりは0のままです。これが「テープで測地線を描ける」理由です。法曲率が方向だけで決まり、同じ接方向の曲線に共通となる事実はMeusnierの定理であり、後の形作用素では $k_n=\vec T\cdot S\vec T$ と一行で表されます。

補足 F-2-B3 回転面の測地線にはClairautの保存量がある

母線を弧長 $s$ で表し、回転軸からの距離を $\rho(s)$ とする回転面では、計量は

です。単位速度の測地線が子午線となす角を $\psi$ とすれば、周方向速度は $\rho\dot\phi=\sin\psi$ です。$\phi$ は計量に明示的に現れない循環座標なので、Euler--Lagrange方程式から

を得ます。これがClairautの定理です。測地線が回転軸へ近づいて $\rho$ が小さくなるほど $\psi$ は大きくなり、定数より小さい半径へは入れません。球面では大円の傾きを、擬球面では測地線が折り返す高さを決めます。

また、回転軸に垂直な平面への射影で動径が掃く面積速度は $\dot A=\rho^2\dot\phi/2$ なので一定です。これはKeplerの第二法則と同じ角運動量の幾何ですが、ここで粒子に中心力を仮定しているわけではありません。回転対称性から保存量が生まれる、という構造が共通です。

橋渡し可視化 F-2-C1 測地円は曲率を周長と面積のずれとして測る

曲面の内部だけで距離を測り、点 $p$ から測地距離 $r$ にある点を集めて測地円を作ります。平面なら周長は $2\pi r$、面積は $\pi r^2$ です。正曲率では測地線が寄り合うため円周と面積が小さくなり、負曲率では測地線が離れるため大きくなります。法線や埋込みを見なくても、このずれからGauss曲率を測れます。

同じ $(u,v)$ 格子を平面、円筒、球面、負曲率面へ写します。円筒は前節の等長写像なので $G=I$ のままです。一方、半径 $R$ の球面を赤道上の点の近くで

と表すと、

となり、要素の中で計量が変化します。負曲率の比較には、一定曲率 $K=-1/R^2$ をもつ擬球面（tractricoid）の局所片

を使います。中心 $U_0=1.35,\ V_0=0$ で長さをそろえた局所座標

では、中心で $G=I$ ですが、要素内では

となります。同じ $G(0)=I$ から出発しても、正曲率と負曲率では近傍の距離の広がり方が逆向きになります。

動かして確かめる順序。 まず平面を選び、桃色の測地円で $C(r)=2\pi r$、$A(r)=\pi r^2$、中心頂点 $p$ の角度欠損が0になることを確認します。次に円筒へ切り替えます。法線と3次元形状は変わりますが、計量が $I$ なので測地円の測定値は平面と同じです。球面では $R$ を小さくすると $2\pi r-C>0$、$\pi r^2-A>0$、$\delta_p>0$ となります。最後に「負曲率」を選び、三つの符号がすべて反転する一方、$h$ を小さくすると $\delta_p-KA$ が0へ近づくことを確かめてください。

測地半径 $r$ の円について、平面と円筒では $C(r)=2\pi r$、球面では

です。一定負曲率 $K=-1/R^2$ の局所幾何では

となるので、可視化が表示する円周欠損 $2\pi r-C$ と面積欠損 $\pi r^2-A$ はともに負になります。一般の滑らかな曲面では、点 $p$ を中心とする小さい測地円について

なので、曲率は二つの内在的な極限

から復元できます。また、$p$ へ縮む小さな測地三角形 $\Delta$ では、内角和の余剰 $\varepsilon_\Delta$ が

となります。これが局所Gauss--Bonnetです。表示している区分線形格子では、中心頂点の角度欠損

が、頂点周辺に集まった曲率を近似します。$h$ を小さくすると、この離散近似の残差が減ります。円筒では曲面が曲がって見えても、対称な要素対の角度変化が相殺されて $\delta_p=0$ です。

発展 F-2-C1a 共形計量では曲率と光学的測地線を一枚の地図で読める

局所座標 $z=u+iv$ で計量が

と書けるとき、その地図は角度を保つ共形地図です。長さだけが位置依存の倍率 $\lambda$ で変わり、Gauss曲率は

で計量から直接求まります。$\lambda=1$ は平面で $K=0$、半径 $R$ の球面の立体射影では $\lambda=2R^2/(R^2+|z|^2)$ となって $K=1/R^2$、Poincaré半平面では

です。$\lambda$ を屈折率 $n$ と読むと、曲面の長さ $\int ds=\int\lambda|dz|$ は光学距離になり、測地線はFermatの原理で光路を停留させる光線になります。Poincaré半平面では、測地線は境界 $v=0$ に直交する半円または鉛直線です。負曲率面の測地線を光学として描けるのは、形が似ているからではなく、同じ変分量 $\int\lambda|dz|$ を使っているからです。

双曲幾何では、直線外の点から「交わらない測地線」が一本だけではありません。その境界となる二本の極限平行線と垂線のなす平行角 $\Pi(d)$ は、直線までの双曲距離 $d$ によって

と減少します。$d\to0$ では $\Pi\to\pi/2$、$d\to\infty$ では $\Pi\to0$ です。Euclid幾何では距離によらず平行方向が一つに定まるのに対し、負曲率では距離そのものが平行線の見え方を変えます。

橋渡し可視化 F-2-C2 形作用素は曲面の「曲がり方」を方向ごとに分解する

Gauss曲率 $K$ は曲面の内在的な曲がりを一つの数で表します。しかし、外から曲面を見ると、どの接方向へ進むと法線がどれだけ回るかも知りたくなります。その線形写像が形作用素です。

局所座標表示 $\vec X(u,v)$、単位法線 $\vec n$ に対し、第1基本形式と第2基本形式を

とすると、ここで採用する符号規約 $S(\vec t)=-D_{\vec t}\vec n$ では

です。$S$ の固有ベクトルが主方向、固有値 $k_1,k_2$ が主曲率です。主方向 $\vec e_1$ から角度 $\theta$ の単位接ベクトル

を含む法平面で曲面を切ると、その法曲率はEulerの公式

に従います。

動かして確かめる順序。 平面ではすべての方向で $k_n=0$ です。円筒では $\theta=0^\circ$ で $k_n=k_1=1/R$、$90^\circ$ で $k_n=k_2=0$ となります。球面では $k_1=k_2$ なので、切断方向を回しても赤い法切断の曲率は変わりません。鞍面では $k_1=-k_2$ となり、$\theta=45^\circ$ で $k_n=0$、その前後で符号が反転します。半透明の紫面が法切断面、赤線が切断曲線、桃色の破線が中心で同じ曲率をもつ接触円、橙矢印が $S\vec t$ です。

平面と円筒はどちらも $K=0$ ですが、円筒では $(k_1,k_2)=(1/R,0)$、$H=1/(2R)$ です。したがって、Gauss曲率が同じでも外在的な曲がり方は同じとは限りません。一方、前のF-2-B1とF-2-C1で円筒の内在的距離が平面と一致したのは、両者の第1基本形式が同じ $G=I$ だからです。

続き F-2-C2s 形作用素にはなぜ「捻り」がないのか

ここから原著第15章15.4へ進みます。平面の一般の線形写像 $M$ は、入力側の直交軸を角度 $\theta$ だけ選び、二方向へ $\sigma_1,\sigma_2$ 倍し、出力側の軸を角度 $\phi$ へ向ける形に分解できます。

これが特異値分解の2次元での幾何学です。単位円は半軸 $\sigma_1,\sigma_2$ の楕円へ移り、$\tau$ が入力の主軸に対する出力楕円の捻りです。転置は入力側と出力側を交換するので、捻りの符号を逆にします。

したがって $M^{\mathsf T}=M$ なら捻りは消え、直交する入力軸がそのまま固有方向になります。形作用素は自己随伴なので、符号をもつ主曲率まで戻せば

です。主方向が直交するのは図の偶然ではなく、形作用素の対称性の帰結です。

動かして確かめる順序。 初期状態の「対称な形作用素型」では捻り入力が固定され、紫と緑の入力主軸が同じ向きの楕円軸へ移ります。「一般の写像」へ切り替えて $\tau$ を動かすと、特異値と面積倍率 $\sigma_1\sigma_2$ はそのままでも楕円が余分に回り、$\lVert M-M^{\mathsf T}\rVert_F$ が増えます。もう一度対称型へ戻すと残差が0へ戻ることを確認してください。

続き F-2-C2m 一般の基底で形作用素の行列を読む

第15章15.5では、主方向に合わせていない基底から同じ形作用素を読みます。曲面上の点と単位法線を固定し、接平面に正規直交基底 $\vec E_1,\vec E_2$ を選びます。第1主方向が $\vec E_1$ から角度 $\theta$ の方向にあるとき、$c=\cos\theta$、$s=\sin\theta$ と置けば、行列は次のようになります。

積は右から作用します。まず入力ベクトルの成分を主方向の成分へ回し、主曲率を掛け、元の基底の成分へ戻します。行列の第1列は $S\vec E_1$、第2列は $S\vec E_2$ の成分です。非対角成分は、一つの基底方向への移動で生じた法線の変化が、もう一つの基底方向にも成分をもつことを表します。

既存の図で確かめる。 直前のF-2-C2sを「対称な形作用素型」にし、二つの伸縮を固定して入力主軸 $\theta$ を0度、45度へ動かしてください。この操作は表示基底を固定して主方向を回します。逆に、曲面を固定して基底を回した場合も、相対角度で同じ式を読めます。45度では二つの対角成分が等しくなりますが、主曲率が等しくなったわけではありません。

例えば $k_1=1.35$、$k_2=0.65$ を同じ逆長さの単位で表すと、次の二つの行列が得られます。

後者も固有値は1.35と0.65です。対角成分だけを主曲率として読むと、この違いを失います。Gauss曲率 $K=\det[S]$ と平均曲率 $H=\operatorname{tr}[S]/2$ は基底の選び方に依存しません。球面のように $k_1=k_2=k$ なら $[S]=kI$ となり、どの方向を基底にしても同じ行列です。

続き F-2-C2p 法曲率は法線変化の「進む向きへの射影」

第15章15.6では、前節の行列の各成分を幾何学へ戻します。曲面上を進むと、法線は進行方向にも、その横方向にも傾きます。法曲率が測るのは前者だけです。曲面に沿う巻線でも、経路が空間内で曲がることと、下地の曲面の法線が変わることは区別する必要があります。

点を通る曲面上の曲線を弧長 $s$ でたどり、単位接ベクトルを $\vec t=d\vec\gamma/ds$、選んだ単位法線を $\vec n$ とします。常に $\vec t\cdot\vec n=0$ なので、その微分は

第1項が符号付き法曲率 $k_n$ です。第2項に、この教材の規約 $D_{\vec t}\vec n=-S\vec t$ を入れると

となります。単位ベクトルとの内積なので、これは $S\vec t$ の進行方向への符号付きスカラー射影です。射影ベクトルそのものは $k_n\vec t$ であり、長さ $\lVert S\vec t\rVert$ ではありません。この導出は法切断曲線に限らず、同じ点・同じ単位接方向をもつ曲面上の曲線すべてに成り立ちます。経路ごとに違い得るのは接平面内の曲がり、すなわち測地的曲率です。

既存の3D図で違いを見る。 上のF-2-C2で「鞍面」、$R=2$ を選び、法切断方向を0度、45度、90度へ動かしてください。法曲率の読み出しは順に $0.5,0,-0.5$ です。一方、45度でも橙色の $S\vec t$ は消えず、接方向と直交します。中心の主基底で書けば

曲率の数値は同じ逆長さの単位で読んでください。矢印の長さは見やすく調整されているので、図のピクセルから $1/2$ を測るのではありません。平面に切り替えると $S\vec t$ 自体が0になります。「法曲率0だから法線は変化しない」という解釈は、この二つの状態を区別できません。

前節と同じ正規直交基底では、行列成分は $[S]_{ij}=\vec E_i\cdot S\vec E_j$ です。したがって、二つの対角成分はそれぞれの基底方向の法曲率になります。前節の角度 $\theta$（$\vec E_1$ から第1主方向への角度）を使えば

$q=\vec E_2\cdot S\vec E_1$ は、$\vec E_1$ に沿って進むときの横方向成分です。実際の法線微分 $D_{\vec E_1}\vec n$ の横成分は $-q$ です。$S$ の対称性により、二つの非対角成分は等しくなります。主基底では $q=0$。主曲率が異なる場合、$|q|$ は主方向を二等分する基底で最大となります。これは前節で45度に回した行列の非対角成分 $0.35$ の意味でもあります。

続き F-2-C2r 三方向の法曲率から形作用素を復元する

第15章15.7では、法線変化を表す行列を、三つの方向の法曲率から組み立てます。主方向や主曲率を先に探す必要はありません。同じ点、同じ法線の向きで、接平面の正規直交基底 $\vec E_1,\vec E_2$ を固定することが出発点です。

三つ目には、その間を二等分する単位方向を選びます。

形作用素は自己随伴なので、この基底での未知成分は対角成分 $a,d$ と、等しい二つの非対角成分 $q$ の三つです。前節の射影公式へ $\vec w_+$ を代入すると

したがって、平均曲率 $H$ と非対角成分を順に求めれば復元できます。

$a+d=\operatorname{tr}S=k_1+k_2$ なので、直交する二方向の法曲率の和は、基底を回しても変わりません。ここで $H$ を求めるために、未知の主曲率を先に持ち出す必要はありません。復元した行列からは

としてGauss曲率と二つの主曲率も得られます。固有値が異なれば固有方向が主方向であり、二つが等しい場合は主方向を一意には選べません。

既存の3D図で復元する。 F-2-C2で「鞍面」、$R=2$ を選びます。図の主方向から45度を $\vec E_1$、135度を $\vec E_2$ に取ると、$\vec w_+$ は90度の方向です。法切断方向を45度、135度、90度の順に動かし、同じ中心点での読み出しを記録してください。

曲率は図と同じ逆長さの単位、$K$ はその二乗の単位です。二つの直交方向で法曲率が0でも、曲面が平面とは限りません。三つ目の測定から非対角成分が現れ、鞍面の曲がりが復元されます。図の主基底での行列と上の行列は成分こそ違いますが、固有値・行列式・トレースは一致します。

第四の方向で照合する。 復元に使わなかった方向 $\vec w_-=(\vec E_1-\vec E_2)/\sqrt2$ では

この例では $\vec w_-$ は図の0度方向で、値は $+1/2$ です。実際に0度へ動かし、復元した行列からの計算と読み出しが一致するか確かめてください。三つの値に合わせて行列を作れただけで終わらず、使っていない方向を照合に回すのがポイントです。

続き F-2-C2d 漸近方向は形作用素の像と直交する

第15章15.8では、法曲率が0になる接方向を漸近方向と呼びます。これは「曲面が平らになる方向」でも「法線が変わらない方向」でもありません。曲面に沿う巻線を考えるときも、経路そのものの曲がりと、曲面の法曲率を分けて読む必要があります。

単位接ベクトル $\vec t$ について、前節までの射影公式から

です。特に $K<0$ の双曲点では $S$ は可逆なので、$S\vec t$ は0にならず、元の方向と直交します。像の向きが直角になるという意味であって、$S$ 自体が回転行列であるとか、長さを保つという意味ではありません。

二つの方向を求める。 主基底で $k_1=p^2$、$k_2=-q^2$（$p,q>0$）と書きます。主方向からの角度を $\alpha$ とすれば

正反対の向きは同じ一本の方向と数えるので、双曲点には二つの漸近方向があります。単位ベクトルと像を具体的に書くと

二つの漸近方向が互いに直交するのは $p=q$、すなわち $k_1=-k_2$ の場合だけです。一般には主方向がそれらの角を二等分します。例えば $k_1=4$、$k_2=-1$ なら傾きは $\pm2$ であり、主方向から45度ではありません。

Dupinの標形とのつながり。 点を原点に、接平面を $z=0$ に取り、主方向の局所座標を $x,y$ とすると、二次近似は

です。平行な平面 $z=\varepsilon$ による切り口の二次近似は双曲線で、その漸近線は $y=\pm(p/q)x$。縮小・拡大して読むこの二次の標形が、上の漸近方向を与えます。一般の曲面では高次項があるので、実際の接平面との交線が厳密な二直線になるとは限りません。

既存の3D図で確かめる。 F-2-C2の「鞍面」で $R=2$ を選び、法切断方向を45度と135度へ動かします。両方向で $k_n=0$、橙色の $S\vec t$ は非零です。40度と50度にずらすと法曲率は正から負へ変わります。この図は $k_1=-k_2$ の特別な局所モデルなので漸近方向は45度・135度ですが、一般の曲面まで同じ角度に固定しないでください。「円筒」の90度では $S\vec t$ 自体が0になる点も比較します。

発展：Gauss曲率と捩率。 漸近曲線の単位接線を $\vec t$、接平面内の横方向を $\vec l=\vec n\times\vec t$ とします。ここでは測地的捩率を $\tau_g=\vec l\cdot S\vec t$ と定義します。正規直交基底 $\vec t,\vec l$ では

さらに空間曲率 $\kappa\ne0$ の滑らかな漸近曲線では、フレネ主法線は $\pm\vec l$、副法線は $\pm\vec n$ となるため、通常の捩率 $\tau$ と $\tau_g$ の二乗が一致し、$K=-\tau^2$ が得られます。これはBeltrami–Enneperの関係です。先の特異値分解で使った「捻り」と、曲線の捩率は別物です。

この鞍面モデルの45度・135度の曲線は直線で、$\kappa=0$ のため通常のフレネ捩率は未定義です。そこで捩率を0と置いて $K=0$ としてはいけません。曲面の法線は変わるので測地的捩率は定義でき、$|\tau_g|=1/2$、$K=-1/4$ が保たれます。

続き F-2-C2f 三種類の基本形式を形作用素から読む

第15章15.9では、古典的な曲面論の「基本形式」を、ここまでの接ベクトル・計量・形作用素で読み直します。曲面上の同じ点にある二つの接ベクトル $\vec u,\vec v$ を入力すると、三つの形式はそれぞれ一つの数を返します。

第1基本形式は長さと角度を測る。

特に $\mathrm I(\vec u,\vec u)=\lVert\vec u\rVert^2$ です。曲面に沿う巻線の長さを求めるときも、パラメータで表した接ベクトルにこの計量を適用して弧長を測ります。

第2基本形式は符号付きの曲がりを測る。 この教材の規約 $S\vec u=-D_{\vec u}\vec n$ では

単位接ベクトル $\vec t$ なら $\mathrm{II}(\vec t,\vec t)=k_n(\vec t)$ です。単位でない $\vec v\ne0$ では

第3基本形式は法線変化どうしの内積を測る。

二つのマイナス符号が打ち消し合います。したがって $\mathrm{III}(\vec t,\vec t)=\lVert S\vec t\rVert^2\ge0$ で、一般には $k_n(\vec t)^2$ ではありません。第2基本形式では進行方向へ射影し、第3基本形式では横方向を含む法線変化全体を数えます。これは、直後に扱うGauss写像によって単位球面の計量を元の曲面へ引き戻したものでもあります。

既存の図で三つを読み分ける。 F-2-C2の「鞍面」、$R=2$、法切断方向45度を選びます。単位接方向について

法曲率の読み出しは0でも、橙色の $S\vec t$ が残る状態です。次に0度へ動かすと第2基本形式は $1/2$ へ変わり、第3基本形式は $1/4$ のままです。「円筒」の90度へ切り替えると、第2・第3基本形式がともに0になります。数値は図と同じ長さの単位系で読み、第2は逆長さ、第3は逆長さの二乗として比較します。

これで第15章の形作用素を、方向ごとの曲率・行列表現・三つの基本形式まで結び付けました。次は第16章16.1へ進み、局所のGauss曲率を曲面全体で積分する大域的Gauss–Bonnetの定理を整理します。

橋渡し可視化 F-2-C2a Gauss写像は法線の広がりを曲率へ変える

形作用素は、接ベクトルを「法線が回る速さ」へ移しました。そこで、曲面 $S$ の各点をその単位法線へ送る写像

を考えます。これが Gauss写像です。点 $p$ の周りの微小面積 $dA$ は、単位球面上の符号付き微小面積 $d\widetilde A$ へ写り、2次元では

となります。正の $K$ は面積の向きを保ち、負の $K$ は向きを反転します。$K=0$ では二方向のどちらか、または両方で法線が変化せず、球面像は線または点へ潰れます。有限のパッチで表示する比 $\widetilde A/A$ は領域内の $K$ の面積平均であり、パッチを点へ縮めると $K(p)$ へ近づきます。

動かして確かめる順序。 まず球面を選び、$R$ を変えて $d\widetilde A/dA=1/R^2$ を確かめます。円筒では二次元パッチが大円弧へ潰れ、球面像の面積は零です。平面では全法線が同じ一点へ移ります。鞍面では球面像が二次元のまま境界の向きを反転し、符号付き面積が負になります。鞍面で $a/R$ を小さくすると、有限パッチの面積比が中心の $K(p)=-1/R^2$ へ収束します。Canvasはドラッグで回転できますが、視点を変えても数値は変わりません。

外から作ったGauss写像が、なぜ内在的曲率を与えるのか

単位法線は周囲の3次元空間を使う外在的な量です。それにもかかわらず、その符号付き面積倍率 $K$ は曲面上の第1基本形式だけから決まり、曲面を伸縮しない等長変形で変わりません。これがGaussの驚異の定理（*Theorema Egregium*）の核心です。平面を円筒へ丸めると一方の主曲率は $0$ から $1/R$ へ変わりますが、もう一方は $0$ のままなので、積 $K=k_1k_2=0$ は保たれます。個々の $k_1,k_2$ や平均曲率 $H$ は外在的、積 $K$ は内在的です。

この節は Tristan Needham, *Visual Differential Geometry and Forms* (Princeton University Press, 2021) の、Gauss写像を球面像の符号付き面積倍率として捉える議論とGaussの驚異の定理の見方を参考に、四曲面の比較、有限パッチ積分、FEMへの橋を独自に再構成したものです。

橋渡し可視化 F-2-C2b 曲率は頂点の角度欠損へ集中する

滑らかな円錐は頂点以外で平面へ伸縮なく展開できるので、$K=0$ です。それでも頂点を囲む円周は平面の $2\pi r$ より短く、頂点には曲率があります。半頂角を $\alpha$ とすると、母線長 $\ell$ の円錐側面を展開した扇形の半径は $\ell$、弧長は $2\pi\ell\sin\alpha$ です。したがって扇形の中心角と不足角は

となります。ここで $\delta_\infty$ は点での通常の関数値ではなく、頂点に集中した曲率測度です。

一次三角形を $q$ 枚集めた多面体円錐では、各面内の $K$ は零です。各三角形の頂点角を $\theta_i$ とすれば、頂点の離散Gauss曲率は

正則な円錐台形状で各母線長を $\ell$ とすると

さらに、頂点に接する各平面三角形の単位法線 $\vec n_i$ を単位球面へ置き、隣り合う法線を短い大円弧で結ぶと球面多角形 $n(v)$ ができます。凸な頂点では、その面積が角度欠損と一致します。

動かして確かめる順序。 左は $q$ 枚の平面三角形からなる円錐で、各面の紫矢印が一定法線 $\vec n_i$ です。中央は同じ三角形を切って平面へ開いた図で、赤い隙間が $\delta_v$ です。右は法線を単位球面へ移して囲んだ橙色の球面多角形で、その面積を数値的に求めています。まず $\alpha$ を小さくして円錐を鋭くし、展開図の隙間と球面像が同時に広がることを確認します。次に $q$ を増やします。各面内では法線が一定で $K=0$ のままですが、$\delta_v$ は滑らかな円錐の $\delta_\infty$ へ収束します。図を回しても三つの数値関係は変わりません。

「要素内は平ら」と「曲面は曲がる」は矛盾しない

区分線形曲面では、曲率は普通の点ごとの関数として各要素へ分布せず、頂点集合上の測度として現れます。したがって一次要素の内部で $D\vec n=0$ を得ても、曲面全体が平らだとは結論できません。頂点のstarで内角を集め、$2\pi$ との差を取る必要があります。滑らかな曲面を正則に細分したとき、頂点角度欠損を小さなdual cellへ配った量が $K\,dA$ の積分を近似します。

この節は Tristan Needham, *Visual Differential Geometry and Forms* (Princeton University Press, 2021), Chapter 14 の円錐・多面体頂点の集中曲率と球面像の見方を参考に、正多面体円錐の有限分割、球面多角形のsolid angle検算、F/G教材の役割分担を独自に再構成したものです。

橋渡し可視化 F-2-C2c 鞍型頂点では角度超過が負曲率になる

F-2-C2bの凸頂点では、頂点まわりの内角和が $2\pi$ に足りず、正の角度欠損が残りました。ところが、平面三角形を鞍型に貼ると内角和は $2\pi$ を超えます。この角度超過を負の角度欠損として読むと、滑らかな鞍面で $K<0$ だったことと離散曲面の符号がつながります。

頂点 $v=(0,0,0)$ のまわりに四枚の三角形を置きます。凸型では周囲の四頂点を同じ高さ $z=-h$ に置き、鞍型では

と高さを交互にします。同じ $h/r$ に対する一枚の頂点角を、凸型で $\theta_+$、鞍型で $\theta_-$ と書くと、

です。したがって、四枚を一周した角度欠損は

つまり、同じ $h/r$ なら凸と鞍型で曲率測度の絶対値は等しく、符号だけが反転します。$h=0$ では四枚が同一平面へ戻り、$\theta_+=\theta_-=\pi/2$、$\delta_v=0$ です。

符号は一般化Gauss像にも現れます。向きをそろえた各面の単位法線 $\vec n_i$ を単位球面へ置くと、凸型と鞍型は同じ四点を通る球面四角形を作ります。しかし、凸型は反時計回り、鞍型は時計回りにたどります。したがって必要なのは単なる面積ではなく向き付き球面面積です。

動かして確かめる順序。 まず既定の鞍型を見ます。左の四枚はどれも平面三角形なので面内の $K$ は0ですが、中央では四つの角が一周を超えて重なり、青い超過角が $\delta_v<0$ を示します。右の球面四角形は時計回りで、その向き付き面積も負です。次に同じ $h/r$ のまま凸型へ切り替えます。球面像が占める領域と $|\delta_v|$ は同じですが、境界矢印が反時計回りになり、中央の重なりは不足角へ替わります。平面型では法線が北極の一点へ潰れ、三つの量がすべて0になります。最後に $h/r$ を増やし、凸では正、鞍型では負のまま $|\delta_v|$ が増えることを確認してください。

負曲率は「負の面積」ではなく向きの反転で読む

通常の面積は負になりません。ここで負なのは、選んだ曲面の向きに従って球面像の境界をたどった符号付き面積です。凸型と鞍型で法線の点集合だけを比べると同じに見えますが、隣接面の順序を保って結ぶと向きが逆になります。向きを捨てると、正曲率と負曲率を区別できません。

この節は Tristan Needham, *Visual Differential Geometry and Forms* (Princeton University Press, 2021), Chapter 14 が示す多面体頂点の角度欠損・一般化球面写像と、末尾で触れる非凸多面体・負曲率への拡張を参考に、四三角形starの正・零・負比較、向き付きsolid angle検算、F/G教材の役割分担を独自に再構成したものです。

橋渡し可視化 F-2-C2d 面を伸ばさず曲げても球面像面積は変わらない

滑らかな曲面に対するGaussの驚異の定理は、外から見た形が変わっても、曲面上の距離を保つ変形ならGauss曲率 $K$ は変わらないと述べます。多面体曲面では点ごとの $K$ の代わりに頂点の角度欠損 $\delta_v$ を使うと、同じ現象を有限個の三角形でそのまま見られます。

頂点 $v=(0,0,0)$ から出る四本の母線を単位長とし、各三角形の頂点角を同じ $\theta=70^\circ$ に固定します。$c=\cos\theta$ として、ヒンジ変数 $d$ に応じる四頂点を

と置きます。$0\lt d\lt\theta\lt\pi/2$ の範囲では、すべての $i$ について

です。したがって四枚の三角形は、$d$ を変えても三辺が同じで合同です。辺をヒンジとして折るだけなので、各面の計量と頂点角は変わりません。一方、向かい合う頂点間の二本の対角線は

と変わるため、starの外在形状は確かに変形します。それでも

は $d$ に依存しません。面法線 $\vec n_i(d)$ と球面多角形 $n_d(v)$ の形は変わりますが、その球面面積は一定です。これが多面体版の驚異の定理です。

動かして確かめる順序。 左は基準の $d=35^\circ$、中央は操作中の $d$ を使う四三角形starです。桃色と緑の対角線が変わり、紫の面法線も別方向を向く一方、四枚の面は常に合同です。右の単位球面では、水色が基準、橙が変形後の一般化Gauss像です。二つの球面四角形の形と頂点位置は異なりますが、表示される面積はどちらも $4\pi/9$ です。$d$ を25度、55度、65度へ動かし、合同残差と球面面積差が丸め誤差の範囲に留まる一方、二本の対角線と球面像の形が変わることを確認してください。

変わる法線から、変わらない内在曲率を読む

面法線は周囲の3次元空間を使う外在量です。ヒンジ変形では各 $\vec n_i$ が回り、球面多角形も変形します。それでも、その内角はもとの三角形starの面角から決まり、球面超過として求める面積は $2\pi-\sum_i\theta_i$ のままです。外在的に作った球面像から、内在的な角度欠損が取り出されます。

この節は Tristan Needham, *Visual Differential Geometry and Forms* (Princeton University Press, 2021), Chapter 14 の、多面体状の突起を変形すると一般化球面像の形は変わるが面積は変わらないという議論を参考に、合同四三角形の球面四節リンク、solid-angle検算、FEMでの内在量・外在量の区別を独自に再構成したものです。

橋渡し解説 F-2-C3g 全曲率から曲面全体の位相へ

第16章16.1では、一点のGauss曲率から曲面全体へ視野を広げます。まず、曲面領域 $D$ の全曲率を

と定義します。ここで $dA$ は正の面積要素です。正曲率と負曲率を符号付きで足すので、$\iint_D|K|\,dA$ とは異なります。$K$ の次元は長さの逆二乗、$dA$ の次元は長さの二乗であり、全曲率は無次元です。

等長と同相を分ける。 紙を伸ばさずに曲げる等長変形は計量を保ち、Gauss曲率も保ちます。一方、同相写像は連続な全単射で、逆写像も連続な写像です。距離や角度を保つ必要はなく、同相な滑らかな曲面でも $K$ や面積は違ってかまいません。切断・貼り合わせ・穴の潰し込みによって位相を変える操作は、同相写像には含めません。

ここで扱う曲面の条件。 $S$ は滑らかで連結、コンパクトで境界のない、向き付け可能な曲面とします。「閉曲面」はここではコンパクトかつ境界なしという意味です。三次元空間内の通常の閉じた物体の表面なら、外向き単位法線 $\vec n$ を連続して選べます。これに対し、メビウスの帯では中央の閉曲線を一周すると連続に運んだ法線が反転し、全体で一貫した法線を選べません。なお、この帯には境界もあり、今述べた閉曲面の対象ではありません。

種数は「取っ手の数」。 球面型を $g=0$、トーラス表面を $g=1$、二つの取っ手をもつ閉曲面を $g=2$ と数えます。くぼみの数や、表面を切り抜いてできた境界の数ではありません。より正確には、互いに交わらない単純閉曲線に沿って切っても、残った曲面全体が連結であるような切り込みの最大本数です。トーラス表面の独立な一周経路が二種類あることと、種数が1であることは矛盾しません。経路の独立性と、この同時に切れる本数は異なる数え方です。

この条件のもとで、大域的Gauss--Bonnetの定理は

と述べます。$\chi(S)=2-2g$ はEuler標数です。

全曲率0は「どこも平ら」という意味ではありません。通常のドーナツ形トーラスは外側に正曲率、内側に負曲率をもち、それらを面積で重み付けして積分した値が相殺します。また、同じ位相のまま滑らかな形を変えたときの不変性は、一点の $K$ の増加を別の一点の減少で相殺するという意味でもありません。面積要素も変わるため、保存されるのは $K$ 単独の和ではなく $\iint_S K\,dA$ です。球面・トーラスでの具体的な全曲率の計算は、次の16.2で詳しく確かめます。

下の球面冠で条件を確かめる。 球面を途中で切り取った球面冠は、どの開き角でも円板型ですが、閉曲面ではありません。余緯度 $\alpha=60^\circ$ と $120^\circ$ を比較すると、面の全曲率はそれぞれ $\pi$ と $3\pi$ に変わります。円板型だから面積分だけで $2\pi$ になる、とはいえません。境界積分がそれぞれ $\pi$ と $-\pi$ を補い、合計が $2\pi$ になります。半球でも境界は存在し、赤道が測地線なので境界項の値が0になるだけです。

次に開き角を固定して半径 $R$ だけを変えます。$K=1/R^2$ と面積の $R^2$ が相殺し、球面冠の全曲率も一定です。「球を小さくすれば全曲率も大きくなる」とは限りません。この操作は尺度の相殺と境界付きの収支を調べるものであり、任意の閉曲面についての定理の証明を置き換えるものではありません。

続き F-2-C3t 球面とトーラスの全曲率を計算する

第16章16.2では、定理が与える答えを具体的な曲面で確かめます。共通の道具はGauss写像です。曲面上の点を単位法線の先端へ写すと、$K\,dA$ は単位球面上の向きと重複度を数えた面積になります。単に像の集合の面積を測るのではありません。

16.2.1 球面：同じ $4\pi$ を三通りで読む

直接積分。 半径 $R$ の球面では $K=1/R^2$ が一定、面積は $4\pi R^2$ なので、

です。外向き法線と形作用素 $S=-D\vec n$ の約束では主曲率はともに $-1/R$ ですが、その積は正です。

Gauss写像。 中心を原点に置くと $\vec n(\vec x)=\vec x/R$ です。外向き法線の先端は単位球面を向きを保って一度だけ覆うため、全曲率は単位球面の面積 $4\pi$ です。先ほどのF-2-C2aで球面を選び、半径だけを変えてください。元のパッチの面積は変わっても、角度幅を固定した球面像の面積は変わりません。

回転で掃く面積。 半円を直径の周りに角度 $\varphi$ だけ回すと、球面上に二つの子午線で挟まれた月形ができます。余緯度を $\theta$、回転角を $u$ とすると、

となり、$\varphi=2\pi$ で $4\pi$ になります。角度はラジアンです。曲線とその法線を一緒に回せば、法線は「子午線方向」と「回転方向」の両方に垂直なままなので、回転面の法線になります。このため、曲面の生成と球面像の生成を同じ回転として追えます。

滑らかで正曲率の回転楕円体へ形を変えても、子午線の法線は一方の極から他方の極まで一度ずつ向きを変え、回転後のGauss写像は単位球面を一度覆います。局所曲率が一定でなくても全曲率は $4\pi$ です。ただし、尖った先端や折れ目をもつ形を滑らかな曲面として扱うことはできません。また、一般の非凸曲面では像が重なり、正負も混在するので「像が球面全体」という事実だけで積分値は決まりません。

16.2.2 トーラス：外側と内側を別々に積分する

回転軸から管の中心までの距離を $a$、管の半径を $b$ とし、$a>b>0$ の通常のトーラスを考えます。$u$ は回転軸の周りの角度、$v$ は管の断面円の角度で、$v=0$ が最外側、$v=\pi$ が最内側です。

外向き単位法線と、正の面積要素は

です。主曲率の積から

を得ます。外側の $-\pi/2<v<\pi/2$ では正、内側の $\pi/2<v<3\pi/2$ では負です。内外の面積も曲率の大きさも等しくありませんが、積 $K\,dA$ では $a,b$ が消えます。

回転角 $0\leq u\leq\varphi$ の部分を切り出し、外側と内側の寄与を別々に計算すると、

です。したがって切り出した部分だけでも全曲率は0、全周では $4\pi+(-4\pi)=0$ です。この部分には境界があるので、0という結論は閉曲面用のGauss--Bonnetを適用した結果ではなく、上の直接積分の結果です。全周のトーラスで初めて $g=1$ の閉曲面の定理と照合します。

Gauss写像で読むと、外側と内側はそれぞれ面積 $2\varphi$ の球面上の月形を掃きます。内側では向きが逆です。途中の月形は同じ場所にある必要はなく、全周でそれぞれ単位球面を正向き・負向きに一度ずつ覆います。従って、像の集合だけなら単位球面でも、符号付き全曲率は0、絶対曲率の積分は $8\pi$ です。

さらに $v=\pi/2$ の上端の円周では、$u$ によらず $\vec n=(0,0,1)$、下端では $\vec n=(0,0,-1)$ です。二つの円周はそれぞれ単位球面の極一点へ潰れ、その上で $K=0$ になります。これはGauss写像が退化する場所であり、トーラスの曲面自体が尖ったり特異になったりする場所ではありません。

既存の図へ戻す。 F-2-C2aの球面と鞍面を切り替え、正曲率は向きを保ち、負曲率は逆にするという局所の仕組みを確認します。ただし、この鞍面はトーラスそのものを描いた図ではありません。下のF-2-C3では半球 $\alpha=90^\circ$ の面積分 $2\pi$ を確認し、北・南の半球を合わせれば $4\pi$ になることを読み取ります。球面冠の $\alpha$ は余緯度であり、ここで月形・トーラスを掃く回転角 $\varphi$ とは別の角度です。球面冠のスライダーでトーラスを計算しているわけではありません。

この節はNeedham『ビジュアル微分幾何・微分形式』16.2を参考に、既存のGauss写像教材との対応と、球面・トーラスの独立した積分計算として再構成しました。次の16.3では、複数の穴をもつ曲面を部分ごとの全曲率から考えます。

続き F-2-C3p 穴のある厚い板の全曲率を足し合わせる

第16章16.3では、16.2のトーラスの内側・外側を部品として使います。平たい円板状の立体に、互いに離れた $g$ 個の貫通穴を設け、外縁と穴の縁を丸くした形を考えます。上下面は平らで、外縁は外へ膨らみ、各穴の内壁はトーラスの内側のようにくびれるモデルです。

穴があっても、表面に境界はない。 対象は上面だけではなく、下面・外側面・穴の内壁をすべて含む立体の表面 $\Sigma_g$ です。穴の入口の円周でも、上面から内壁へ表面が続くので、そこで表面が途切れるわけではありません。立体が一つにつながり、穴が合流せず外縁にも達しないこの形では、表面は種数 $g$ の閉曲面です。穴のあいた平面領域だけを対象にすると境界付きとなり、別の問題になります。

平らな部分と丸めた縁を分ける

上面の外向き法線は一定の $\vec n=(0,0,1)$、下面では $\vec n=(0,0,-1)$ です。Gauss写像はそれぞれの面全体を単位球面の北極・南極へ潰します。面積が広くても球面像の面積は0で、$K=0$、全曲率への寄与も0です。

丸めた外縁では、法線が下向きから横向き、上向きへ連続に変わります。それを外周に沿って一周させると、Gauss写像は単位球面を正向きに一度覆います。16.2で計算したトーラスの外側半分と同じ仕組みで、寄与は $+4\pi$ です。

各穴の縁では、物体の外向き法線は穴の空間へ向きます。トーラスの内側半分と同じく球面像の向きが逆になり、穴一つの寄与は $-4\pi$ です。「内壁だから法線の約束を逆にした」のではありません。外縁でも内壁でも物体から外へ向く法線を使い、内壁の負のGauss曲率が負の寄与を生みます。

部分に分けた面積分を足し合わせると、

となります。穴なしなら $4\pi$、穴一つなら0、穴二つなら $-4\pi$、穴三つなら $-8\pi$ です。穴を追加する操作は同相変形ではないので、全曲率が変わっても16.1の位相不変性と矛盾しません。

丸め方と、この計算が示す範囲

ここでいう縁は、上下面へ滑らかにつながる移行部分まで含みます。角張った板のまま「各平面で $K=0$ だから全体も0」と計算してはいけません。滑らかなモデルでは縁に分布する曲率を数え、多面体として扱うなら頂点の角度欠損などの曲率測度を数える必要があります。

外縁を凸、穴の縁をトーラス内側型として法線の向きの変化を保つ丸め方なら、厚さや縁の幅が変わっても球面像の符号付き被覆は変わりません。ただし、任意に変形した多穴曲面の各部分へ、同じ $0,+4\pi,-4\pi$ を機械的に割り当てることはできません。この分担は今回の形のモデルに対するものです。

この節の計算は、代表的な種数 $g$ の形について、全曲率を部分の積分から具体的に確かめたものです。「任意の同相な曲面をこの形へ変形できるから、積分も同じ」として定理の証明を済ませると、証明したい不変性を先に仮定してしまいます。一般の曲面についての証明と、このモデルの計算を区別します。

既存の図で確かめる。 F-2-C2aで平面を選ぶと、二次元のパッチでも球面像は一点です。球面と鞍面を選び、正曲率と負曲率で球面像の向きが変わることを続けて確認してください。これらは各部品を理解する局所の例であり、穴の数を変えるシミュレーションではありません。穴一つの負の寄与を、16.2の内側の積分 $-4\pi$ と照合してから、上の合計へ戻ります。離散メッシュによるEuler標数・角度欠損の計算はG-6 位相・切断面とゲージで扱います。

この節はNeedham『ビジュアル微分幾何・微分形式』16.3を参考に、閉曲面の条件・各部分の符号・滑らかさ・計算と一般証明の違いを独自に整理しました。次の16.4では、ベーグルをつなぐブリッジの寄与を考えます。

続き F-2-C3b ベーグルをつなぐブリッジと種数

第16章16.4では、全曲率0のトーラスを複数用意し、細い首状の曲面でつなぎます。この接続部をブリッジと呼びます。元のベーグルの個数と、完成した曲面の種数は必ずしも同じではありません。 つなぎ方も数える必要があります。

ブリッジ一つの寄与が負になる理由

16.2のトーラスの内側半分を横向きにすると、両端が開いた首状の曲面になります。そのGauss写像は単位球面を負向きに一度覆うため、全曲率は $-4\pi$ です。原典のモデルでは、この首を短く押し縮めたものをブリッジ、長く伸ばしたものをワームホールとして見ています。ここでのワームホールは形の呼び名であり、時空のモデルではありません。

長さやくびれを変えても、球面像の符号付き被覆が保たれる変形では全曲率は同じです。これは「境界付き曲面なら、どんな変形でも全曲率が一定」という主張ではありません。首の端での法線や接続条件まで変えれば、境界の寄与も変わり得ます。

首の表面は位相的には円環で、Euler標数は0です。16.2の内側半トーラスでは、二つの端の円周の符号付き測地曲率積分はそれぞれ $2\pi$ です。境界付きGauss--Bonnetでも

と照合できます。したがって $\mathcal K(\text{首})=-4\pi$ です。端の境界条件まで含めて数える点は、球面冠で境界項を省けなかったことと共通します。

輪を作らずにつなぐ：ベーグル $N$ 個、ブリッジ $N-1$ 本

まず $N$ 個のベーグルを、枝分かれしても輪は作らない木状につなぎ、一つの閉曲面にします。元のベーグル部分の寄与を0、ブリッジ一つを $-4\pi$ と数えられる原典のモデルでは、

です。この場合の種数は $g=N$ で、16.1の式と一致します。例えば6個を5本でつなぐと $g=6$、全曲率は $-20\pi$ です。

この部品分担は、接続口とその滑らかな移行領域まで含めて選んだモデルの数え方です。任意のトーラスから曲がった円板を切り取って管を挿した場合、残ったトーラス部分の積分が厳密に0とは限りません。切り取った部分と接続部の積分を二重計上したり、落としたりしないようにします。

三角形につなぐと、なぜ種数が一つ増えるのか

3個をまず2本でつなぐと種数3です。さらに両端をもう1本でつないで輪を閉じると、ベーグル自身の三つの穴とは別に、接続全体を巡る穴が一つ増えます。完成した閉曲面の種数は4で、全曲率は $-12\pi$ です。これはGauss--Bonnetと矛盾しません。

一般に、$N$ 個のトーラスを $B$ 本の管で接続して一つにしたとします。接続口は互いに重ならず、表面は向き付け可能で、管同士の交差・融合による別の接続はないものとします。接続グラフの独立な輪の数を $r$ とすると、

です。Euler標数でも確認できます。各管につき二つの開円板を取り除くとEuler標数は2減り、円環状の管を境界円に貼っても追加の変化はありません。元のトーラスは各々Euler標数0なので、完成後は

となります。種数の数え方は接続の位相から求め、全曲率の値は定理によって照合しています。これは任意の曲面に対する定理そのものの証明ではありません。

切り離した後も、条件を確認する。 木状のブリッジを切断した直後は境界ができます。そのまま閉曲面用の式は使えません。接続口を塞ぎ、滑らかな $N$ 個のトーラスに戻した後なら、それぞれの全曲率は0で合計も0です。6個・5本の例では $-20\pi$ から0へ変わりますが、切断・閉鎖は同相変形ではなく、連結成分数も変わっています。切り口付近の新しい面と丸めた部分も積分に含めます。

既存の図と式へ戻す。 16.2の内側の積分 $-4\pi$ を一つの首の基準とし、上の表ではまずブリッジの本数を数え、その後に種数を確認してください。F-2-C2aの鞍面は負曲率と球面像の向きの反転を確かめる局所例です。ブリッジ全体や接続グラフの可変シミュレーションではなく、今回の接続の数え方は本文と表で扱っています。

この節はNeedham『ビジュアル微分幾何・微分形式』16.4と末尾の三角形接続の問いを参考に、境界条件・接続グラフ・切断後の閉鎖を明示して再構成しました。次の16.5では、Gauss写像の被覆を符号付きで数える「位相的次数」を整理します。

続き F-2-C3q Gauss写像の位相的次数を数える

第16章16.5では、球面像を何枚重ねたかという見方を、向き付きの逆像の個数として定義します。種数 $g$ の滑らかで連結な向き付け可能な閉曲面 $\Sigma_g$ と、そのGauss写像

を考えます。曲面の向きは選んだ単位法線に合わせ、単位球面は外向きに向き付けます。球面上の一点 $\vec q$ を選ぶことは、物理空間で一つの法線方向を指定することです。曲面上で $\vec n(p)=\vec q$ となる点を探し、その点のGauss曲率の正負を数えます。

まず「正則値」を選ぶ

ここで $\vec q$ は正則値、すなわち、その逆像のすべての点でGauss写像の微分が退化しない値とします。Gauss写像では、これはすべての逆像で $K(p)\ne0$ という条件です。逆像は孤立し、曲面のコンパクト性により有限個なので、個数を数えられます。

$P(\vec q)$ を $K>0$ の逆像の個数、$N(\vec q)$ を $K<0$ の逆像の個数とすると、位相的次数は

です。どちらも非負の整数ですが、その差は負や0にもなります。0は「どこにも写っていない」、負の値は「負の個数の点がある」という意味ではありません。

同じ次数でも、被覆の総数は異なる

16.3の厚い多穴板のモデルでは、外縁から正の逆像が一つ、各穴の縁から負の逆像が一つずつ来るので、$P=1$、$N=g$ です。16.4の木状につないだ $g$ 個のベーグルのモデルでは、ベーグルから正負各 $g$ 個、ブリッジから負の逆像がさらに $g-1$ 個来るので、$P=g$、$N=2g-1$ です。後者は $g\ge1$ の構成です。

どちらも差は同じですが、総数 $P+N$ はそれぞれ $g+1$ と $3g-1$ で異なります。例えば種数2で比べると、

となります。この表は前節までの形のモデルを数えたものであり、種数2なら常に総数3または5という意味ではありません。一般の曲面では選ぶ正則値によって $P,N$ が変わることもありますが、差である次数はどの正則値でも同じです。これは閉じた向き付き曲面間の写像の次数に関する定理です。

トーラスで「正則値」と「臨界値」を区別する

16.2のトーラスの法線式で、$\vec q=(1,0,0)$ を選びます。角度を周期で同一視すると逆像は、外側の $(u,v)=(0,0)$ と内側の $(\pi,\pi)$ の二点です。前者では $K>0$、後者では $K<0$ なので、$P=N=1$、次数は0です。

一方、北極 $\vec q=(0,0,1)$ の逆像は上端の円周全体で、その上では $K=0$ です。この北極は正則値ではなく臨界値なので、上の有限個の点数えを適用できません。「$K=0$ の点を除外して、残りだけを数えればよい」のではなく、そもそも臨界値を避けて数えます。次数そのものは定義されており、別の正則値から求めた0を使います。

滑らかなGauss写像では臨界値の集合は球面上で面積0です。「ほとんどすべての点で数えられる」とは、このような例外を除くという意味であり、例外の逆像まで有限個だとする意味ではありません。

点の数が変わっても差が保たれる局所の例

同じ向きの座標を使った局所写像 $F(s,t)=(s,t^2)$ を考えると、目標点 $(0,c)$ の逆像は、$c>0$ では $(0,\sqrt c)$ と $(0,-\sqrt c)$ の二点、$c<0$ では0個です。Jacobianの行列式は $2t$ なので、二点は正負一組として現れ、差はどちら側でも0です。$c=0$ は微分が退化する境目です。これは典型的な折り畳みの局所例であり、すべてのGauss写像の特異性をこの形だけで説明するものではありません。

次数から全曲率へ戻る

単位球面の向き付き面積形式を $\omega_{S^2}$ とすると、Gauss写像による引き戻しは $\vec n^{\,*}\omega_{S^2}=K\,dA$ です。符号付きの被覆を積分にまとめると、

となります。大域的Gauss--Bonnetに対応する核心は、

です。これを独立に証明すれば、全曲率の公式が得られます。逆に、既知のGauss--Bonnetを使ってこの等式を導いただけでは、Gauss--Bonnetの新しい証明にはなりません。また、$1-g$ という値はGauss写像についての結果です。同じ曲面から球面への任意の写像がこの次数をもつわけではありません。

既存の図へ戻す。 F-2-C2aの球面と鞍面で、球面像の局所の向きが正・負になることを確認し、その符号を逆像ごとに足すのが今回の次数だと読み直してください。既存の図は局所パッチの写像であり、閉曲面のすべての逆像を探索する計算器ではありません。上のトーラスの二点は16.2の法線式へ代入して照合できます。

この節はNeedham『ビジュアル微分幾何・微分形式』16.5を参考に、正則値の条件、被覆総数と次数の区別、局所の折り畳みの例、全曲率との関係を整理しました。次は16.6の歴史的経緯です。

続き F-2-C3h 局所から大域へ：定理名と歴史を分けて読む

第16章16.6は、Gauss--Bonnetという定理名を歴史的な経緯と区別する短い補足です。Needhamは、GaussとBonnetが基礎となる局所的な結果への道を開いたことと、閉曲面全体の位相を含む大域的な結果が後に成立したことを分けて説明しています。

以下の年代と役割は、Needham『ビジュアル微分幾何・微分形式』16.6（日本語版p.205）による歴史整理です。個々の原論文の優先権をここで独立に判定した年表ではありません。

局所の結果で、何が入力なのか。 測地三角形では、三つの内角の和が平面三角形の値をどれだけ超えるかが、その内部の全曲率に対応します。辺が測地線でなければ、辺自身の曲がりである測地曲率の積分も必要です。「局所」は一点の曲率だけを述べるという意味ではなく、ここでは境界をもつ曲面領域についての結果を指しています。

下の球面冠F-2-C3で、半球の境界である赤道では測地曲率項が0、赤道以外の緯線では境界項が必要になることを確認できます。その後のF-2-C4では角の外角も含めます。これらは現在の記法による教材上の対応であり、歴史上の原論文がこのCanvasや同じ記法を使ったという意味ではありません。

大域の結果には、もう一つの橋が必要。 16.5で整理した二つの関係は、

です。前者は曲率積分を符号付きの被覆数へ、後者はその被覆数を曲面の位相へ結びます。二つを合わせて初めて、向き付け可能な閉曲面の全曲率がEuler標数で決まる式になります。したがって、測地三角形についての公式を知ることと、任意の閉曲面について大域的な定理を証明することは同じではありません。

原典の脚注はBoy（1903）の仕事を向き付け不可能な曲面への一般化として位置付け、帰属についてHirsch（1976）なども参照しています。本教材ではその注意を保ちつつ、標準的な呼称である「Gauss--Bonnetの定理」を引き続き用います。名称を変えるのではなく、使うたびに境界の有無・向き付け・どの量を積分しているかを明確にすることが学習上の要点です。

これで第16章の導入を終えます。定理の主張、球面とトーラス、多穴曲面、ブリッジ、Gauss写像の次数までを結び付けましたが、一般の場合の証明を終えたわけではありません。次の17.1では一つ次元を下げ、平面の単純閉曲線を一周すると接線が正味で何回転するかというHopfの回転量定理から、証明への道筋を考えます。

続き F-2-C3u 平面閉曲線の全曲率：ホップの回転量定理

第17章17.1では、曲面から平面曲線へ一つ次元を下げます。曲線に沿って歩き、進む向きが左へ回れば正、右へ回れば負として足し合わせてください。途中に右折があっても、自己交差しない閉曲線を内部が左になる向きに一周すると、接線の正味の回転は一回転です。「曲がった量の絶対値の合計」ではありません。

外角の和から、符号付き曲率へ

反時計回りにたどる単純多角形では、頂点での符号付き外角を $\Theta_i=\pi-\beta_i$ と置きます。$\beta_i$ は内部の角です。凹んだ頂点では $\beta_i>\pi$ なので外角は負になります。辺上では向きが変わらず、回転は頂点へ集まります。

三角形・四角形と辺の数を変えても、外角の和は同じです。滑らかな曲線ではこの「頂点ごとの回転」を、弧長に沿う連続した回転に置き換えます。ただし、多角形の絵を丸めただけで、任意の複雑な単純閉曲線に対する厳密な証明が済んだことにはしません。

ここでは $C$ を正則な $C^2$ 級の平面閉曲線とし、弧長を $s\in[0,L]$、単位接ベクトルを $\vec T$ とします。正則とは速度が零にならず、接線の向きが常に定義できることです。角度は途中で $2\pi$ を越えても折り返さず、連続な実数値 $\varphi(s)$ として追います。

添字 $s$ の付いた $\kappa_s$ は、この節で使う符号付き曲率です。F-2-2の空間曲線のFrenet曲率 $\kappa=|d\vec T/ds|$ は非負なので、両者を同じ量として扱わないでください。平面では $\kappa=|\kappa_s|$ です。

接線が一周後に同じ向きへ戻ることから分かるのは、$m$ が整数だということまでです。ホップの回転量定理は、さらに曲線が単純、すなわち自己交差がなく、内部を左に見て一周するとき $m=+1$ になる、と述べます。逆向きなら $m=-1$ です。途中の負の曲率は正の曲率を相殺できますが、絶対曲率の積分は相殺しません。

最後の二式は正向きの単純閉曲線についてのものです。負の曲率をもつ区間があれば、右の不等式は厳密な不等号になります。また、接線の回転数と、曲線が平面上のある点の周りを巡る巻き数とは、写像の対象が異なります。

法線の先端を単位円へ移す

この節では左向き単位法線を $\vec N=(-\sin\varphi,\cos\varphi)$ と固定します。接線を常に同じ角度 $\pi/2$ だけ回して得られるので、法線も接線と同じ正味の回転数をもちます。変曲点でもこの法線は連続に定義でき、曲率の主法線のように左右を切り替えません。

法線写像は、曲線の各点を法線の先端がある単位円 $S^1$ 上の点へ移します。自己交差する曲線では、交点を一つの点に潰さず、媒介変数の円周を定義域とします。単位円上の正向き角度1-formを $d\theta$ と書けば、

ここで $d\theta$ は円周上で大域的に定義できる1-formですが、$\theta$ 自体を円周上の一価の実数関数にはできません。「閉曲線で全微分を積分したから0」とするのは誤りです。連続に持ち上げた角度 $\varphi$ は、区間の両端で $2\pi m$ だけ違ってよいのです。

単位円の正則値 $q$、すなわちすべての逆像で $\kappa_s\ne0$ となる方向を選びます。正曲率の逆像の個数を $P(q)$、負曲率の逆像の個数を $M(q)$ と数えると、

です。$P+M$ という被覆の総数ではありません。変曲点などの像は臨界値なので、この単純な符号付き個数の式では除外します。次数は正則値の選択に依存しません。16.5の「単位球面の面積 $4\pi$ × 次数」に対し、ここでは「単位円の長さ $2\pi$ × 次数」になります。

円と8の字で、条件を確かめる

円 $\vec\gamma(t)=(R\cos t,R\sin t)$、$R>0$ を $0\leq t\leq2\pi$ でたどると、$\kappa_s=1/R$、$ds=R\,dt$ なので積分は $2\pi$ です。既存のF-2-2でピッチ $h=0$ とし、位置 $t$ を動かすと、円上の接ベクトルと法線が一緒に回る様子を確認できます。この図の位置スライダーは一周の両端を少し除いた範囲です。一周全体の値は上の積分で確かめてください。$h>0$ のらせんは平面閉曲線ではなく、この定理の対象から外れます。

自己交差のある例として、次の8の字曲線を独立に計算します。これは上のCanvasが描く曲線ではありません。

その速度 $(\cos t,2\cos2t)$ は決して零になりませんが、$t=0$ と $t=\pi$ は同じ交点 $(0,0)$ に来ます。一般の正則な平面曲線 $(x(t),y(t))$ では、

です。この8の字に代入すると、

となります。分母は正で、$f(t+\pi)=-f(t)$ だから、二つの半周が相殺します。

これはホップの定理への反例ではありません。「単純」という仮定を外した例です。交差する曲線すべての回転数が0なのでもなく、一般の正則閉曲線では整数 $m$ を個別に求めます。

確認問題。 接線が出発時と同じ向きに戻ることだけで、なぜ $m=1$ とは言えないのでしょうか。

この節はNeedham『ビジュアル微分幾何・微分形式』17.1（日本語版p.206–209）を参考に、符号の規約、正則値、角度の多価性、8の字の独立計算を補いました。ここでは定理の意味と次数との対応を整理した段階で、ホップの位相的証明を完了したとはしません。次の17.2では、変形された円周で正負の逆像を具体的に追います。

続き F-2-C3v 変形された円周：三つの逆像でも次数は一つ

17.2では、円を滑らかに変形してくぼみを作った単純閉曲線を考えます。曲線上の点は止まらずに進んでいても、その法線の先端は単位円の上で進んだり戻ったりします。元の曲線を一周することと、法線の先端が単調に一周することは違います。

原典の洋梨状の例を、17.1の符号規約で読み直します。曲線を内部が左になる向きにたどり、左向き単位法線 $\vec N$ を使います。法線を一斉に反対向きに選び直すと、単位円上の像は半回転しますが次数は変わりません。ただし、特定の方向の逆像を探すときには、どちらの法線を採用したかを固定する必要があります。以下の $p,q$ は、この規約で選び直した単位円上の方向です。

一つの方向を、何回・どちら向きに通過するか

くぼみから離れた正則値 $q$ には、正曲率の逆像が一つだけあるとします。一方、法線像が折り重なる区間内の正則値 $p$ には、曲線を進む順に三つの逆像 $p_1,p_2,p_3$ があります。その間に二つの変曲点 $a,b$ があり、この区間での順序と曲率の符号は次のようになります。

法線の先端は $a$ の像で折り返し、$b$ の像で再び前進に戻ります。従って $p$ を通過する向きは、反時計回り・時計回り・反時計回りの順です。曲線上の三点が同じ場所にあるのではなく、異なる三点から出した法線が同じ方向を向いているのです。

この表で正の個数を $P$、負の個数を $M$ とすると、$P+M$ は1から3へ変わりますが、$P-M$ は1のままです。「単位円全体が像になる」という集合の情報だけでも、「三回重なる」という総数だけでも、全曲率は決まりません。

平行な接線を探すだけでは、逆像を二種類拾ってしまう

方向 $p$ に垂直な直線を平行移動し、曲線へ接する位置を探すと、候補となる接点を見つけられます。しかし、向きのない接線だけでは、法線が $p$ を向く点と、反対の $-p$ を向く点を区別できません。接点ごとに、曲線の進行方向から左法線を作り、向きまで確かめます。

さらに、曲率が零の点の像は臨界値です。$p$ を変曲点の法線方向そのものに置いた場合、単純に「正2、負1」とは数えません。原典の例の $a,b$ は曲率の符号が変わる変曲点であり、法線像が実際に折り返します。一般に曲率が零という条件だけでは符号反転までは保証されない点にも注意してください。

折り重なった糸は、三本の別の円ではない

法線の先端が通った道筋を一本の糸として考えると、前進・後退・再前進した部分は同じ円弧の上に三重に重なります。図で重なりを少し離して描くのは、通過の順序を読み取るための表現です。像の半径や長さが物理的に三種類あるのではありません。

原典の図を読むときは、曲線上の点を $p_1,a,p_2,b,p_3$ の順に指でたどり、もう一方の指で法線の先端を単位円上で追ってください。元の曲線上では前へ進み続ける一方、単位円上では二度折り返します。変曲点を過ぎた後、同じ法線方向に別の正曲率の点で到達しても、その点まで変曲点になるわけではありません。

17.1の引き戻し式から、正向きに覆う円弧の寄与を足し、負向きに覆う寄与を引けば、

となります。この例では臨界値が有限個なので、その点を除いて正則な円弧ごとに積分すれば十分です。同じ区間を正負一組で余分に通過した分は相殺します。一方、絶対曲率では両方が加算されるため、負曲率の区間をもつこの曲線では $\oint_C|\kappa_s|\,ds>2\pi$ です。全曲率が一定でも、曲率の分布や法線が動いた総距離まで一定ではありません。

既存の図との対応。 F-2-2で $h=0$ の円に戻すと、法線が後退しない出発点を確認できます。ただし既存Canvasには洋梨状のくぼみを作る操作はありません。ここでの三つの逆像は、原典の幾何学的な追跡と上の符号表で理解する対象であり、既存Canvasが三点を探索した結果ではありません。

この節はNeedham『ビジュアル微分幾何・微分形式』17.2（日本語版p.209–211）を参考に、逆像の符号表、反対向きの法線を除く手順、臨界値の注意を補って再構成しました。ここまでは具体例です。次の17.3「ホップの回転量定理の試行錯誤的証明」で、この仕組みを連続変形に沿って考えます。

続き F-2-C3w ホップの回転量定理：変形で何が保存されるか

17.3では、前節の洋梨状の例から、円を連続的に変形する議論へ進みます。法線像が折り重なると逆像の総数は変わりますが、正負一組の増減は次数を変えません。これを「整数である次数が連続変形では跳べない」という形にまとめるのが、原典の試行錯誤的な証明の筋道です。

形の連続性だけでなく、接線の連続性も保つ

曲線上の位置を表す周期変数を $u$、変形の進行を $\lambda\in[0,1]$ とし、曲線族を $\vec\gamma(u,\lambda)$ と書きます。弧長や曲線の長さは変形とともに変わってよいので、$u$ を全段階で共通の弧長とはしません。出発点は正向きの円、到着点は調べたい正向きの単純閉曲線です。

原典は途中でも自己交差を起こさず、法線を連続に追える変形を考えます。本教材では十分な条件として、各曲線が単純閉曲線で、$u$ に関する一階・二階微分が $(u,\lambda)$ に関して連続であるとし、全段階で次を要求します。

これは速度が零にならないという正則性です。曲率が零にならない、という条件ではありません。変曲点は許されます。左法線を「単位接線を常に同じ向きに90度回したもの」として固定すれば、変曲点でも法線は連続です。一方、尖った角や接線が定義できない退化を通すと、この議論の前提が失われます。

折り目を越えると、正負が一緒に増減する

ある正則な法線方向で、正の逆像を $P$ 個、負の逆像を $M$ 個と数えます。前節のような通常の折り返しを横切るとき、正負一組が現れるか消えるので、変化の前後は次のようになります。

総数は2変わっても、差は変わりません。ただし折り目の像そのものは臨界値です。その瞬間に零曲率の逆像へ無理に正負を割り当てるのではなく、両側の正則値で比較します。また、この一組の説明は典型的な折り返しの局所像であり、すべての退化が必ずこの形になるという主張ではありません。

ここには二つの見方があります。一つは曲線を固定して単位円上の観測方向を動かすこと、もう一つは曲線自体を変形することです。前者で正則値によらない次数を理解し、後者でその次数が変形にも依存しないことを考えます。途中で臨界値になる固定方向に、符号付き個数の式を使い続ける必要はありません。

整数性と連続性を、同じ量について確かめる

17.1の符号付き全曲率から、各段階の回転数を次のように定義します。$ds_\lambda$ はその段階の曲線の弧長要素です。

整数性は、閉曲線を一周した後に接線が同じ向きへ戻ることから得られます。これは単純閉曲線の回転数が1だと先に仮定した結果ではありません。

連続性は、17.1の媒介変数による回転密度を共通の $u$ 区間で積分して確認できます。分母は速度の二乗です。上の正則性と連続性、定義域のコンパクト性から速度の大きさには一様な正の下限があり、分子・分母とも変形に対して連続です。従って積分値 $m(\lambda)$ も連続になります。整数値の連続関数は、連結な区間 $[0,1]$ 上では一定です。

これで、このような変形が存在するならば、到着した曲線の全曲率は円と同じだと分かります。法線の進んだ総距離や絶対曲率が一定になるわけではありません。

「円から変形できる」は、別に必要な前提

任意の滑らかな単純閉曲線まで、正則性を保って円から変形できることは、単に「絵ではできそう」と言うだけでは証明されません。厳密な証明に仕上げるには、そのような滑らかな変形の存在を別途示す必要があります。たとえば平面の滑らかな変形で円を目的の曲線へ運べることを保証すれば、接線を潰さずにこの議論を適用できます。この節ではその存在証明までは展開しません。

なお、次数が変わらないという部分だけなら、途中の自己交差を許しても、正則な曲線族として法線が連続である限り成り立ちます。自己交差した瞬間に必ず次数が変わるのではありません。17.1の円は次数1、そこで計算した8の字は次数0なので、この二つを全過程で正則な平面閉曲線のまま結ぶことはできません。少なくとも上の前提のどれかを失う必要があります。

この節はNeedham『ビジュアル微分幾何・微分形式』17.3（日本語版p.211）を参考に、原典の発見的な筋道と、正則性・連続性・変形の存在という厳密化の要件を分けて整理しました。新しい変形Canvasは追加しておらず、前節の符号表と17.1の検算済みの回転密度へ接続しています。次の17.4「変形された球面の全曲率」では、この考え方を曲面へ戻します。

続き F-2-C3x 変形された球面：重なる三領域の全曲率

17.4では、17.2の洋梨状の平面曲線の右半分を、両端を通る軸の周りに一回転して閉曲面を作ります。これは球面と同じ位相の滑らかな回転面であり、くぼみがあっても取っ手はありません。曲線の左法線とは区別して、ここでは曲面の外向き法線 $\vec n$ と、それが誘導する曲面の向きを使います。

原典のこの形では、母線の二つの変曲点が回転して、Gauss曲率 $K$ の正負を分ける二つの円周になります。曲率は母線方向と回転方向の主曲率の積です。「母線の曲率が負なら必ずKも負」という規則を、回転方向の主曲率の符号を確認せず任意の回転面へ適用しないでください。

三つの帯状領域 $R_1,R_2,R_3$ は、Gauss写像によって単位球面の同じ帯 $R$ を覆います。正・負・正の順に向きを保ち、逆転し、再び保つので、帯内部の正則値には正の逆像が二つ、負の逆像が一つあります。$A_R$ を単位球面上の帯の面積とすると、

です。物理空間の三領域の面積が等しいという意味ではありません。Gauss写像の符号付き面積倍率が $K$ なので、曲率と面積要素の積を積分した値が対応します。

原典には、零曲率の二円周と同じ法線像をもつ、別の二円周も描かれています。同じ像をもつことだけでは、その点の微分が退化しているとは言えません。零曲率の円周の像は臨界値であり、正則値での逆像数えとは区別します。

帯以外の上下の領域は球面上の残りを一回覆うので、全体の符号付き全曲率は

となります。同じ計算で絶対曲率は $4\pi+2A_R$ です。余分な正負一組は符号付き積分では消え、絶対値では加算されます。既存F-2-C2aで球面と鞍面を切り替えると局所の向きの違いを確認できますが、そのCanvasはこの洋梨全体の逆像探索器ではありません。

続き F-2-C3y 第17章の結び：次数から大域的Gauss--Bonnetへ

17.5は、法線像を破れずに伸縮し折り重なる薄膜として考えます。これは像の重複度を見分ける模型です。折り重ね後の写像は異なる点を同じ場所へ送るため、全過程を一対一の同相写像だと解釈してはいけません。

向きを固定した同じ閉曲面上で滑らかな正則曲面族を考え、法線写像が連続に変形されるなら、その次数は一定です。典型的な折り目を横切ると正負の被覆が一組増減し、差は保たれます。17.4では次数1、16.4の種数 $g$ の基準模型では次数 $1-g$ でした。したがって、その基準模型から許される変形で結べる曲面について、

です。種数が途中で変わる穴開け・貼り合わせは、この変形ではありません。また、任意の対象が基準模型と適切に結べることや、退化を含む写像の扱いまで、薄膜の絵だけで証明されたとはしません。第17章は発見的な見通しを与え、第18章の三角形分割、第19章のベクトル場、第26章のホロノミーによる説明へつながります。

以上はNeedham第17章17.4–17.5（日本語版p.211–215）を参考にした独自の再構成です。第18章以降は第39章までの章別学習ガイドから続けられます。

橋渡し可視化 F-2-C3 球面冠でGauss--Bonnetの収支を閉じる

局所曲率 $K$ を面上で積み上げると、境界を一周したときの回転と曲面領域の位相が結び付きます。向き付けられた曲面領域 $D$ に区分的に滑らかな境界 $\partial D$ があるとき、Gauss--Bonnetの定理は

と書けます。$k_g$ は正向きの境界を曲面内で見た符号付き測地曲率、$\Theta_i$ は角での外角、$\chi(D)$ はEuler標数です。まず一つ目の例として、半径 $R$ の球面の北極から余緯度 $\alpha$ までを切り取った滑らかな球面冠を考えます。この領域は円板と同じ位相なので $\chi(D)=1$、境界に角はないので $\sum_i\Theta_i=0$ です。

球面冠では

です。一方、境界の緯線を、球面の外向き法線に対して領域が左側に来る向きへ一周すると、

となります。したがって

と、面と境界の収支がちょうど閉じます。

動かして確かめる順序。 まず $\alpha=65^\circ$ で、橙色の面積分と青緑色の境界積分の合計が $2\pi$ になることを確認します。次に $\alpha=90^\circ$ へ動かします。赤道は測地線なので $k_g=0$、境界項は消え、半球の面積分だけで $2\pi$ になります。さらに $90^\circ$ を越えると、領域は半球より大きくなって面積分は $2\pi$ より大きくなりますが、境界の向きに対する $k_g$ が負へ反転し、超過分を差し引きます。最後に $R$ を変えます。$K$、面積、$k_g$、境界長は個別には変わりますが、それぞれの積は $R$ に依存せず、合計は $2\pi$ のままです。

薄い格子は、球面を局所要素へ分けて数値積分する入口です。表示値 $Q_h(K\,dA)$ は各緯度帯の中点で $K\,dA$ を評価した曲面求積で、

です。$m$ を2倍にすると、滑らかな被積分関数に対する中点則の誤差はおよそ $1/4$ になります。ここでは連続な定理と曲面求積への入口だけを扱います。辺の向き、頂点の角度欠損、Euler標数をメッシュ接続から計算する離散版は、後続の角をもつ境界の例とG-6 位相・切断面とゲージへ引き渡します。

橋渡し可視化 F-2-C4 測地三角形では境界の曲がりが頂点へ集まる

次は境界に角がある場合です。単位球面の北極を $A$、赤道上の2点を $B,C$ とし、$A\to B\to C\to A$ を短い大円弧で結びます。$A$ の内角を $\alpha$ とすると、三角形の内角は

です。Girardの公式より、囲まれた領域 $D$ の面積と面曲率項は

となります。三辺はすべて測地線なので、辺の途中では $k_g=0$、したがって $\oint_{\partial D}k_g\,ds=0$ です。それでも境界全体は曲がっています。曲がりは各頂点で接線が跳ぶ量、すなわち外角

へ集中しています。よって、円板位相 $\chi(D)=1$ に対して

と収支が閉じます。

動かして確かめる順序。 まず $\alpha=90^\circ$ で、面項が $\pi/2$、三つの外角がすべて $\pi/2$ となることを確認します。次に $\alpha=45^\circ$ へ狭めます。面項は $\pi/4$ へ減りますが、$A$ の外角が $3\pi/4$ へ増え、総和は変わりません。反対に $\alpha=135^\circ$ へ広げると、面項は $3\pi/4$、$A$ の外角は $\pi/4$ となります。頂点を $A,B,C$ で切り替えると、灰色の入射接線 $\vec t_-$ から赤色の出射接線 $\vec t_+$ への正の回転を拡大して比較できます。青緑の矢印は、球面の外向き法線に対して領域が左側に来る境界の正向きです。

角を小さな滑らかな曲線で丸めると、その短い曲線上の $\int k_g\,ds$ は、丸め半径を0へ近づけた極限で $\Theta_i$ へ近づきます。したがって角項は別の規則を突然付け足したものではなく、滑らかな境界の曲率が頂点へ集中した極限です。

可視化 F-2-6 球面を一周すると、ベクトルはなぜ回るのか

紙の上では、矢印を平行なまま一周させれば向きは元へ戻ります。球面では事情が違います。ここでは、単位球面上の北極 $A$ から赤道上の $B$ へ進み、赤道を $B$ から $C$ へ進み、子午線を $C$ から $A$ へ戻ります。紫の矢印は、球面の接平面から離れないようにしながら、経路に沿って平行移動した接ベクトルです。

三角形の頂点角は $\alpha,\pi/2,\pi/2$ です。単位球面ではGirardの公式から、橙色の領域の面積は球面過剰そのものになります。

球面のGauss曲率は $K=1$ なので、閉曲線を一周したベクトルの回転角 $\Delta\psi$ は

になります。灰色が出発時の $\vec v(0)$、紫色が途中の $\vec v(s)$、赤色が一周後の $\vec v(1)$ です。角度 $\alpha$ と経路の進行を直接動かし、紫の矢印が常に球面へ接していること、一周後の赤い矢印との間の角が面積と一致することを見てください。

動かして確かめる順序。 最初は $\alpha=90^\circ$、$s/L=0$ の出発状態です。まず一周後へ進め、紫の途中ベクトルが赤の $\vec v(1)$ へ着くことを確認します。次に $s/L$ を25%、55%、85%へ動かし、三つの辺で接性残差が小さいまま保たれることを見ます。最後に $\alpha=45^\circ$ と $120^\circ$ を比べます。$K=1$ は固定のまま、橙色の面積と赤い $\Delta\psi$ が同じ比で変わることを数値欄で照合してください。

接続1形式から曲率2形式へ

動く接標構 $\{\vec e_1,\vec e_2\}$ の回り方は接続1形式 $\omega^i{}_j$ で記述できます。ねじれのないLevi-Civita接続と、その曲率2形式はCartanの構造方程式

で結ばれます。2次元の曲面では

となり、局所的な標構の回り方を面全体で積み上げた結果が、境界を一周した回転として現れます。これは電磁気における「2-formの面積分が境界上のループ量を支配する」という見方へ進むための幾何学的な原型です。ただし、ここで積分しているのはGauss曲率であり、磁束そのものではありません。

橋渡し可視化 F-2-K1 接続1形式は局所で変わるのに、なぜホロノミーは変わらないのか

前のF-2-6は、一周後の平行移動ベクトルが曲率積分だけ回るという結果を見ました。ここでは、その途中を作る局所量へ踏み込みます。半径 $R$ の球面上で、余緯度 $\theta_1=\theta_c-h$ と $\theta_2=\theta_c+h$、経度 $0$ と $\beta$ に囲まれた曲面領域 $D$ を考えます。固定値は $h=18^\circ$ です。

南向き・東向きの正規直交接標構を $\{\vec e_\theta,\vec e_\phi\}$、その双対共標構を $\{\vartheta^1,\vartheta^2\}$ とすると、

です。Cartanの第1構造方程式は、共標構の変化と接続1形式の回転が打ち消し合い、ねじれがないことを表します。

平行移動ベクトルの標構内角度を $\psi$ とし、向きの約束を $d\psi=A$ と置くと、ここで使うスカラー接続は $A=-\omega^2{}_1=-\cos\theta\,d\phi$ です。2次元の $SO(2)$ 接続では行列の二次項が可換成分へ縮約され、曲率2形式は

となります。橙色の正向き境界 $C=\partial D$ を一周すると、Stokesの定理により

です。$R$ を変えると $K$ は $R^{-2}$、面積は $R^2$ に比例して変わりますが、その積である曲率流束とホロノミー角は変わりません。

標構を位置依存角 $\gamma(\phi)$ だけ回すと、同じ物理ベクトルを測る接続は

へ変わります。Canvasでは $\gamma(\phi)=\lambda\sin(2\pi\phi/\beta)$ とし、ゲージねじり $\lambda$ を切り替えます。青緑と金色の局所標構、現在点での $A'(\dot C)$ は変わりますが、紫の平行移動ベクトル、桃色の曲率2形式、赤色の一周後ベクトル、最終角 $\Delta\psi$ は変わりません。

橋渡し可視化 F-2-R1 曲率は近接する測地線をどう近づけ、離すのか

前節までは曲率を「小さな閉路を一周した回転」として読みました。もう一つの読み方は、同じ点からほぼ同じ向きに出た測地線どうしの相対加速度です。測地線族 $\gamma_\varepsilon(s)$ を弧長 $s$ でそろえ、族の方向微分

をJacobi場と呼びます。接ベクトルを $\vec T=d\gamma/ds$ とすると、ここで採用するRiemann曲率の符号規約では

です。2次元の一定Gauss曲率面で $\vec J=j\vec N$、$\vec N\perp\vec T$ とすれば、断面曲率は

へ縮約されます。同一点から単位だけ向きを変えて出発する初期条件 $j(0)=0,j'(0)=1$ では

Canvasでは、初期方向を有限角 $\delta$ だけ変えた二本の測地線も同時に描きます。その横方向間隔を $\delta$ で割った有限差分は

です。$\delta$ を小さくすると有限差分残差が二次で減ることまで確認できます。

青の $\gamma_-$ と橙の $\gamma_+$ が有限角 $\delta$ だけ初期方向を変えた測地線、紫の線分が同じ $s$ での横方向間隔です。赤の $-K\vec J$ はJacobi場の相対加速度を表し、正曲率では間隔を閉じる向き、負曲率では広げる向きになります。零曲率ではこの赤矢印が消えます。

観察の順序。 まず同じ $R,s/R,\delta$ で曲率符号だけを切り替えます。球面では二本が北極から離れた後に南極へ再収束し、$s=\pi R$ が最初の共役点です。平面では $j=s$、負曲率では $j=R\sinh(s/R)$ となり、同じ初期方向差が急速に増幅されます。次に $\delta:18^\circ\to3^\circ$ と小さくし、描いた二本から求める $j_\delta$ が解析Jacobi場へ近づくことを見ます。$R$ を大きくすると $|K|$ は小さくなりますが、$s/R$ を固定した表示では規格化された形を保ったまま全体寸法が拡大します。

負曲率の図には二葉双曲面の上半分

を使います。これはMinkowski計量 $dX^2+dY^2-dZ^2$ で曲率 $-1/R^2$ をもつ双曲平面モデルです。画面のEuclid的な高さを普通の曲面距離と読んではいけません。青と橙の曲線はこの内在計量の測地線です。

この節は Tristan Needham, *Visual Differential Geometry and Forms* (Princeton University Press, 2021), Act IV の測地線偏差とRiemann曲率の見方を参考に、一定曲率三モデル、有限差分検算、電磁気との目的差を独自に再構成したものです。前のCartan節は同書Acts IV--Vの幾何学的な見方を参考に、説明・数式・3D図を独自に再構成しています。

理解の確認

1. 1-formの引き戻しが、ベクトル場の接線成分だけを取り出すのはなぜでしょうか。

2. 曲線の媒介変数を取り替えても線積分が変わらない条件を説明してください。

3. 曲率 $\kappa$ と磁気剛性 $B\rho$ は、荷電粒子の曲がりやすさをどう表すでしょうか。

4. 平面を円筒へ曲げると法線は回るのに、三角形の内角和とGauss曲率が変わらないのはなぜでしょうか。

5. 小さい測地円で $C(r)$ が $2\pi r$ より短いとき、$K$ の符号はどう判定できるでしょうか。周長と面積の二つの極限式で説明してください。

6. 球面冠を半球まで広げたとき、Gauss--Bonnetの面積項と境界項はそれぞれどうなるでしょうか。

7. 測地三角形の $\alpha$ を狭めたとき、面曲率項の減少をどの頂点外角が補うでしょうか。

8. 単位球面上で頂点角 $\alpha$ を2倍にすると、囲む面積と一周後のホロノミー角はどう変わるでしょうか。

9. F-2-K1で標構のゲージねじりを変えたとき、局所標構と接続係数は変わるのに、紫の平行移動ベクトルと最終ホロノミーが変わらないのはなぜでしょうか。

10. 球の半径 $R$ を2倍にしたとき、$K$、領域面積、$\iint_DK\,dA$ はそれぞれ何倍になるでしょうか。

11. 同じ $R$ と $s/R$ で $K=+1/R^2,0,-1/R^2$ を切り替えると、$j_K(s)$ の大小関係はどうなるでしょうか。

12. 球面で $s=\pi R$ のとき $j=0$ へ戻ることは、二本の測地線のどの幾何学的事実を表すでしょうか。

13. 磁力線の分離を、そのままRiemann曲率による測地線偏差と呼べない理由を、両者の微分方程式から説明してください。

14. 平面・円筒・球面・鞍面のGauss写像は、それぞれ点・線・正向きの面・逆向きの面のどれになるでしょうか。像の次元と符号から $K$ を説明してください。

15. 平面を円筒へ等長に曲げると主曲率は変わるのに $K$ が変わらないことを、法線の変化と主曲率の積から説明してください。

16. 多面体円錐の各三角形内部で $K=0$ なのに頂点の $\delta_v$ が正になる理由を、展開図から説明してください。

17. F-2-C2bの曲面内部頂点の角度欠損と、F-2-C4の境界頂点の外角がGauss--Bonnetで担う場所の違いを説明してください。

18. 同じ $h/r$ の凸頂点と鞍型頂点で一般化Gauss像の点集合が同じでも、$\delta_v$ の符号が逆になる理由を、面の隣接順序と球面多角形の向きから説明してください。

19. 四枚の合同三角形をヒンジ変形したとき、starの対角線と面法線は変わるのに、$\delta_v$ と一般化Gauss像の面積が変わらない理由を説明してください。

20. 平面曲線の接線角 $\psi(s)$ と符号付き曲率、Newton公式、曲率円の半径は、互いにどう結びつくでしょうか。

21. 円筒上のらせんが3次元では曲がって見えても測地線になり得る理由を、展開図と $k_g$ で説明してください。

22. 共形計量 $ds^2=\lambda^2(du^2+dv^2)$ から $K$ を求める式を、$\lambda=1$ と $\lambda=R/v$ に適用してください。

23. 曲面上の曲線の全曲率 $\kappa$ が0でなくても測地線になれる理由を、$\kappa^2=k_g^2+k_n^2$ から説明してください。

24. 一般の線形写像で捻り $\tau$ を変えても特異値と面積倍率が変わらない一方、形作用素では $\tau=0$ になる理由を、転置と対称性から説明してください。

25. 回転面上の測地線が軸へ近づくと子午線となす角 $\psi$ が大きくなることを、Clairautの保存量 $\rho\sin\psi$ から説明してください。

26. 双曲平面の平行角 $\Pi(d)$ が距離とともに小さくなることは、Euclidの平行線公準とどう違うでしょうか。