3Dで学ぶ電磁気学

C-2 ローレンツ力と粒子ビーム

この回で身につける

到達目標

$q$、$\vec v$、$\vec B$ から力の向きを判定できる。
磁場中の円運動半径とサイクロトロン角周波数を導ける。
電荷の符号、速さ、磁場の強さが軌道へ与える影響を説明できる。

前提知識

外積と右手系
等速円運動と向心力
磁束密度 $\vec B$ の向き

学習の順序

正負の電荷が曲がる向きを確かめる。
C-2-1、C-2-2で時刻・符号・速さを変える。
$R=mv_\perp/(|q|B)$ で軌道を説明する。

電磁気学の理解実験

磁場は粒子の速さを変えるのか、向きだけを変えるのか

観察ポイント: $\vec v\perp\vec B$ で電荷の符号、質量、速さ、磁束密度を一つずつ変え、軌道半径と回転方向がどう変わるかを確かめる。

操作: 時刻までの軌跡を追い、速度ベクトルと力ベクトルが常に直交するかを見る。$\vec v$ に $\vec B$ と平行な成分がある場合も考える。

観察した後に、仕事と運動方程式で説明する

$\vec F=q\vec v\times\vec B$ なので $\vec F\cdot\vec v=0$ となり、磁場だけでは運動エネルギーを変えない。垂直成分は半径 $r=p_\perp/(|q|B)$ の円運動、平行成分は等速運動となり、両方あればらせんになる。

別問題へ: 質量分析器や偏向電磁石では、軌道の曲率から運動量を測るのであって、磁場が粒子を加速してエネルギーを与えるのではない。

第5回では平行電流の間に働く力を現象から先に見ました。この回で学ぶ $d\vec F=I\,d\vec\ell\times\vec B$ が、その力を計算する二つの柱の一つです。次の第7回で「相手の電流が作る $\vec B$」を求めれば、第5回の式を最初から導けます。

可視化 C-2-1

一様な磁場の中を電荷を持つ粒子が進むと、速度 $\vec{v}$ と磁束密度 $\vec{B}$ の両方に垂直な向きにローレンツ力が働く。

\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}

速度が磁束密度に垂直な場合、ローレンツ力は速さを変えずに進行方向だけを曲げる。円運動の半径は $R=\dfrac{mv}{|q|B}$ で決まり、質量が大きい粒子や速い粒子ほど曲がりにくく、磁場が強いほど小さく曲がる。

R = \dfrac{mv}{|q|B}

\omega_c = \dfrac{|q|B}{m}, \qquad \theta(t)=\omega_c t

磁気ローレンツ力が速度と常に直交することは、運動エネルギーの時間変化からも確認できる。

\dfrac{dK}{dt} = \vec F\cdot\vec v = q(\vec v\times\vec B)\cdot\vec v =0

$\vec v=\vec v_{\perp}+\vec v_{\parallel}$ と分けると、$\vec v_{\perp}$ は円運動、$\vec v_{\parallel}$ は磁場方向の等速運動を作る。したがって垂直入射は円、斜め入射はらせん、平行入射は直線になる。まず磁場中を進んだ後の速さを確認し、操作後に時刻 $t$ までの軌跡、$\vec v$ と $\vec F$ の直交、仕事率 $\vec F\cdot\vec v$ を同時に照合しよう。

確認：一様磁場だけで曲がる粒子の速さは？結果を開く前に、力が速度へ平行か垂直かを考えてください。

入射方向 $\vec v$ と $\vec B$ 表示区間 $t/t_{\mathrm{end}}$ 操作すると $\vec F\cdot\vec v$ と速さを表示します。

青：一様磁束密度 $\vec B$（$+z$ 方向）赤：瞬間の速度 $\vec v$ 緑：正電荷に働く $\vec F=q\vec v\times\vec B$ 橙：時刻 $t$ までの軌跡、淡色：選択した運動の全体像

可視化 C-2-2 講義演習：荷電粒子の符号・入射角と空間軌道

分ける

速度を磁場に垂直な $\vec v_\perp$ と平行な $\vec v_\parallel$ に分ける。

動かす

電荷の符号、速さ $v$、入射角 $\alpha$ を直接変え、空間軌道を回転して観察する。

結び付ける

$\vec v_\perp$ は半径 $R$ を、$\vec v_\parallel$ は1回転のピッチ $p$ を決める。符号は回転方向だけを反転する。

C-2-1は「磁場は仕事をせず速さを変えない」ことを時間に沿って確かめる図でした。C-2-2では役割を分け、同じ一様磁場の中で、速度の二成分が「円、らせん、直線」をどう作るかを3Dで読みます。固定した一方向からはらせんが円に見えることがあるため、視点変更も観察の一部です。

\vec F=q\vec v\times\vec B

\vec v=\vec v_\perp+\vec v_\parallel, \qquad v_\perp=v\sin\alpha, \qquad v_\parallel=v\cos\alpha

R=\dfrac{m v_\perp}{|q|B}, \qquad T_c=\dfrac{2\pi m}{|q|B}, \qquad p=v_\parallel T_c=\dfrac{2\pi m v_\parallel}{|q|B}

電荷 $q$ 速さ $v/v_0$ $\vec v$ と $\vec B$ の角 $\alpha$

青：複数点の一様磁束密度 $\vec B$ 赤：速度 $\vec v$ 緑：ローレンツ力 $\vec F$ 紫：$\vec v_\perp$ 青緑：$\vec v_\parallel$ 橙：粒子軌道水色：旋回半径 $R$ 桃：1回転のピッチ $p$

視点も実験条件： 斜視でらせんの奥行きを確かめた後、$\vec B$ 軸方向から見てください。同じらせんが円に重なって見えます。図が変わったのではなく、投影方向が変わっただけです。

操作後に言葉にする： $\alpha=90^\circ$、$0^\circ<\alpha<90^\circ$、$\alpha=0^\circ$ の順に動かし、どの速度成分が残ると円・らせん・直線になるかを説明しましょう。

モデルの範囲： 一様で時間不変な $\vec B$、一定の $m$と $|q|=e$、非相対論的な一個の点粒子を仮定し、電場、衝突、放射損失を含めません。青い18本の矢印は連続な一様磁場の代表標本であり、「磁場が18本だけ存在する」ことを意味しません。

例題と理解確認

数値例題

速さ $v=2.0\times10^5\,\mathrm{m/s}$ の陽子が、進行方向に垂直な $B=0.50\,\mathrm{T}$ の一様磁場へ入る。$m_p=1.67\times10^{-27}\,\mathrm{kg}$、$e=1.60\times10^{-19}\,\mathrm{C}$ とする。

R=\dfrac{m_pv}{eB} =\dfrac{(1.67\times10^{-27})(2.0\times10^5)}{(1.60\times10^{-19})(0.50)} \simeq4.2\times10^{-3}\,\mathrm{m}

軌道半径は約 $4.2\,\mathrm{mm}$ である。磁場は粒子の速さを変えず、進行方向だけを連続的に変える。

よくある誤解

磁気ローレンツ力は速度に垂直なので、磁場だけでは粒子の運動エネルギーを変えない。
負電荷では力の向きが反転するが、半径の式には $|q|$ を使う。
$\vec v$ が $\vec B$ と平行なら、磁場が強くても磁気力は0である。

確認問題

初速度と磁場を保ったまま正電荷を負電荷へ替えると、軌道はどう変わるか。
$\vec v\parallel\vec B$ の粒子にはどのような運動が生じるか。
速さを保って磁束密度を2倍にすると、半径 $R$ と角周波数 $\omega_c$ は何倍になるか。

問1のヒントを見る

ヒント: $q$ の符号は力の向きだけを反転する。

解答: 曲がる向きは反転し、$|q|$ が同じなら半径は変わらない。

問2のヒントを見る

ヒント: 平行な2ベクトルの外積を考える。

解答: $\vec v\times\vec B=\vec0$ なので磁気力は働かず、他の力がなければ等速直線運動を続ける。

問3のヒントを見る

ヒント: $R\propto1/B$、$\omega_c\propto B$。

解答: 半径は2分の1、角周波数は2倍になる。

今回のまとめ

力の向きは $q\vec v\times\vec B$ で決まる。
垂直入射では速さ一定の円運動となり、$R=mv/(|q|B)$ である。
電荷の符号は曲がる向き、質量・速さ・磁場は曲率を決める。