第10章 数値電磁気学 / FEM経路
G: 第10章 有限要素法（FEM）
高橋則雄先生の有限要素法を入口に、メッシュ、補間関数、局所行列、全体組立て、境界条件、辺要素を動かしてから、弱形式、離散Hodge、節点力、位相自由度、誤差評価、高次基底、開境界のDtN作用素へ進みます。積分方程式を使うMoM、時間発展を直接追うFDTDとは異なり、FEMは偏微分方程式の弱形式から疎行列を組み立てる経路です。
1 FEMの骨格一次三角形要素と四面体要素で、分割・補間・組立て・境界条件を確かめます。
2 Maxwell適合離散化弱形式、Whitney形式、辺・面自由度、離散Hodgeへ進みます。
3 力と大域自由度節点力、穴を回る周期、切断面、ゲージを計算へ組み込みます。
4 解を検証して改善相補上下界で誤差を評価し、h細分・p高次化・hp適応を選びます。
5 無限外部を境界へ縮約DtN作用素を弱形式へ加え、Kelvin FEMとBEM/MoMによる実現を比較します。
Bossavitの橋：連続な場から有限要素へ
Bossavitの重要な見方は、場の各成分を節点へ無理に置くのではなく、0-formは頂点、1-formは辺、2-formは面、3-formは要素体積の積分値として離散化することです。Whitney形式は、この積分自由度を保ったまま連続な場を復元します。
\[
C^0\xrightarrow{\boldsymbol G}C^1\xrightarrow{\boldsymbol C}C^2\xrightarrow{\boldsymbol D}C^3,
\qquad \boldsymbol C\boldsymbol G=\boldsymbol 0,
\qquad \boldsymbol D\boldsymbol C=\boldsymbol 0
\]
接続行列 $\boldsymbol G,\boldsymbol C,\boldsymbol D$ はメッシュの向きと接続だけで決まり、計量と材料は離散Hodge行列へ入ります。F編の連続な場・座標変換を、G編でFEM、弱形式、離散Hodge、仮想仕事と節点力、位相自由度、相補誤差、高次階層基底と適応解析へつなぎます。
G編の全9回
G-1有限要素法の基礎高橋則雄先生の体系に沿って、三角形要素、全体組立て、境界条件、四面体辺要素を動かします。
G-2微分形式による弱形式Whitney--Galerkinと逆Hodographの最小二乗・組立て・零空間を扱います。
G-3Bossavitの離散Hodgeと材料則Whitney形式と離散Hodgeを経て、リッツ線の均質化へ進みます。
G-4電磁力の基本ローレンツ力、Maxwell応力、コエネルギーを結び、節点力への離散化まで扱います。
G-5局所変形と仮想仕事磁束・起磁力保存から仮想仕事を導き、FEMの節点力へ組み立てます。
G-6位相・切断面とゲージ閉路が穴を回るかをhomologyで分類し、cohomology、切断面、tree-cotreeゲージへ進みます。
G-7相補性と保証付き誤差評価二つの大域許容場からエネルギー誤差と磁気抵抗の上下界を作ります。
G-8高次基底と適応解析NGSolveの階層基底を見て、h細分・p次数上昇・hp適応を選びます。
G-9FEMとDtN境界作用素無限外部を非局所な境界項へ縮約し、Kelvin FEMとBEM/MoMの接続を学びます。