3Dで学ぶ電磁気学

G-9 FEMとDirichlet-to-Neumann境界作用素

有限要素法は有限領域を扱うのが得意ですが、電磁界は解析領域の外側へどこまでも続きます。大きな空気箱で切る代わりに、外部領域を「境界値を与えると、境界を通る流束を返す作用素」へ縮約するのがDirichlet-to-Neumann作用素（DtN、Steklov--Poincaré作用素）です。

修士課程の数値電磁気学演習

無限の外部領域を、一枚の境界作用素へ縮約できるか

電磁気の問い: 有限要素領域の境界電位だけから、外へ逃げる磁束と外部エネルギーをどう戻せばよいだろうか。

観察ポイント: 球面調和次数を上げると外部場の減衰とDtN固有値がどう変わるか、式と3D表示を対応づける。

操作と観測: 可視化G-9-1で球面調和次数、境界半径、磁気抵抗率を動かし、境界値、法線応答、外部減衰、エネルギーを同時に追う。

判定基準と有限要素法による説明

外部Dirichlet問題を解いて得た法線流束がDtN応答であり、弱形式では境界双線形形式として加わる。球面では次数 $\ell$ の固有値が $\nu(\ell+1)/R$ になる。

診断: 境界半径や次数を変えても法線応答が変化しないなら、境界値と外部解を切り離して描いている。正の材料で外部エネルギーが負なら、外部領域の法線向きを取り違えている。

研究へ: Kelvin有限要素、境界要素、H-matrix/FMMを用いたDtN近似を、同じ境界trace空間とエネルギーで比較する。

DtNはFEMとMoMのどちらに属するか

結論は「作用素そのものは境界値問題の概念、主な利用場所はFEM、境界積分による実装場所はMoM/BEM」です。

層	DtNの役割	この教材で扱う場所
連続問題	Dirichlet trace $g$ をNeumann traceへ写す非局所作用素	このG-9の前半
FEM	外部領域を消去し、内部弱形式へ正の境界項として戻す	このG-9を主教材とする
Kelvin FEM	無限外部を有限球へ写してDtN応答を計算する	G-9とF-7 Kelvin変換
BEM / MoM	Green関数と境界積分作用素からDtN行列を作る	H編のDtN節

外部Dirichlet問題から作用素を定義する

有限領域 $\Omega$ の外側を $\Omega_{\mathrm{ext}}$、接続境界を $\Gamma$ とします。$\vec n$ は内部領域から外部へ向く法線です。磁気スカラーポテンシャル $u_g$ の外部問題を

\begin{aligned} -\nabla\cdot(\nu\nabla u_g)&=0 &&\text{in }\Omega_{\mathrm{ext}},\\ u_g&=g &&\text{on }\Gamma,\\ u_g&\longrightarrow0 &&\text{as }|\vec r|\longrightarrow\infty \end{aligned}

とします。DtN作用素は

\boxed{ \mathcal S_{\mathrm{ext}}g =-\nu\dfrac{\partial u_g}{\partial n}\bigg|_{\Gamma} }

です。負号は、$\Omega_{\mathrm{ext}}$ から見た境界外向き法線が $-\vec n$ になることに由来します。この定義ならGreenの公式から

\left\langle g,\mathcal S_{\mathrm{ext}}g\right\rangle_{\Gamma} =\int_{\Omega_{\mathrm{ext}}}\nu|\nabla u_g|^2\,d\Omega \ge0

となり、DtN項が外部磁気エネルギーそのものを表します。

FEMの弱形式へ外部領域を戻す

内部領域で $-\nabla\cdot(\nu\nabla u)=f$ を解き、境界でポテンシャルと法線磁束を連続にします。外部をDtNへ置き換えると、弱形式は「$u\in V$ を求め、任意の $v\in V_0$ に対して」

\boxed{ \int_{\Omega}\nu\nabla u\cdot\nabla v\,d\Omega +\left\langle \mathcal S_{\mathrm{ext}}\gamma u,\gamma v \right\rangle_{\Gamma} =\int_{\Omega}fv\,d\Omega }

となります。$\gamma:H^1(\Omega)\to H^{1/2}(\Gamma)$ はDirichlet traceです。

\mathcal S_{\mathrm{ext}}: H^{1/2}(\Gamma)\longrightarrow H^{-1/2}(\Gamma)

局所要素から作るFEM剛性行列に対し、DtNは境界上の全点を結ぶ非局所な境界行列になります。ここが、疎な体積FEMと密な境界MoMが自然に結合する場所です。

可視化 G-9-1 球面上の境界値とDtN応答

半径 $R$ の球面で軸対称な球面調和関数 $P_{\ell}(\cos\theta)$ を境界値に選びます。

g(\theta)=A_{\Gamma}P_{\ell}(\cos\theta), \qquad u_g(r,\theta)=A_{\Gamma} \left(\dfrac{R}{r}\right)^{\ell+1} P_{\ell}(\cos\theta)

したがって球面上のDtN応答は

\boxed{ \mathcal S_{\mathrm{ext}}g =\dfrac{\nu(\ell+1)}{R}g }

です。次数 $\ell$ が大きいほど外部へ出た場は速く減衰しますが、同じ境界振幅を作る法線流束は大きくなります。

初めに三つのつまみの役割を分けます。$\ell$ は球面上の青・赤の帯の数と外部減衰を変え、$R$ は接続境界の大きさと固有値の分母を変えます。$\nu$ は場の色模様や外部減衰を変えず、緑の法線応答だけを比例して変えます。式 $\nu(\ell+1)/R$ の三文字を同じ種類の倍率だと思わないことが、この図の要点です。

球面調和次数 $\ell$ 接続半径 $R$ 外部の磁気抵抗率 $\nu$

色模様と外部減衰を保ち、緑矢印だけを強くする操作は？三つのつまみのうち、場の形を変えず応答倍率だけを変えるものを図を動かして確かめてください。

境界値 $g$ が正境界値 $g$ が負法線応答 $\mathcal Sg$

操作して答える問い。 まず上の操作実験を行い、$\nu$ だけなら球面の色分布と r=2.25Rでの振幅比 が変わらず、固有値と緑矢印が比例することを確認します。次に $\ell=0$ と $\ell=5$ を比べ、色の帯と外側の半透明球面に残る振幅が同時に変わる理由を説明してください。最後に $R$ を大きくし、物理的な接続球が大きくなる効果と、DtN固有値が $1/R$ で小さくなる効果を区別してください。

外部有限要素を消去するとSchur補元になる

外部領域も一度有限要素で離散化し、接続境界自由度を $\vec g$、外部内部自由度を $\vec u_e$ とすると、外部剛性行列は

\begin{bmatrix} \boldsymbol K_{\Gamma\Gamma}&\boldsymbol K_{\Gamma e}\\ \boldsymbol K_{e\Gamma}&\boldsymbol K_{ee} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\vec g\\\vec u_e\end{bmatrix} =\vec0

です。$\vec u_e$ を消去すると、離散DtN行列は

\boxed{ \boldsymbol S_h =\boldsymbol K_{\Gamma\Gamma} -\boldsymbol K_{\Gamma e} \boldsymbol K_{ee}^{-1} \boldsymbol K_{e\Gamma} }

となります。Kelvin FEMは、無限外部を有限球へ写してこのSchur補元を作る方法です。外場がある場合は、F-7で整理したように背景場と有限エネルギーの反作用場を分け、反作用場のDtN応答だけを未知量へ戻します。

BEM/MoMでDtNを作る

Green関数を使う境界要素法では、外部体積を最初からメッシュ化しません。ここで $q=\mathcal S_{\mathrm{ext}}g$ とし、外向き法線とLaplace核を本ページの規約にそろえると、単層作用素 $\mathcal V$ と二重層作用素 $\mathcal K$ により

\mathcal Vq =\left(\dfrac12\mathcal I-\mathcal K\right)g

と書けます。Galerkin離散化では

\boldsymbol V\vec q =\left(\dfrac12\boldsymbol M-\boldsymbol K\right)\vec g, \qquad \boldsymbol S_h^{\mathrm{BEM}} =\boldsymbol V^{-1} \left(\dfrac12\boldsymbol M-\boldsymbol K\right)

です。符号は法線と二重層作用素の定義に依存するため、実装では必ずエネルギー恒等式と球面固有値で検査します。$\boldsymbol V$ と $\boldsymbol K$ は密行列なので、この組立てと作用を高速化するのがH-matrixやFMMです。

Maxwell問題では、scalarの「値と法線微分」ではなく、接線電界と接線磁界のtraceを結ぶ電磁Dirichlet-to-Neumann、すなわちadmittance作用素を使います。

\mathcal S_M: \vec n\times\vec E \longmapsto \vec n\times\vec H

EFIE、MFIE、Calderón作用素をRWG基底などで離散化するH編は、このベクトル版境界作用素を作る側です。詳しくはH編「MoM/BEMがDtNを実装する」へ進んでください。

方式を選ぶ目安

方式	外部領域	行列	向く場面
大きな空気箱FEM	体積メッシュを延長	疎	境界を十分遠くできる小規模問題
Kelvin FEM DtN	有限球へ写像	疎な外部行列を縮約	静磁界、外場、FEMコードを共用したい場合
FEM--BEM/MoM DtN	Green関数で境界だけ離散化	内部は疎、境界は密	均質外部、放射条件を厳密に扱いたい場合
PML	吸収層へ座標伸長	疎・複素	波動・広帯域・複雑な放射問題

理解の確認

1. DtN項を弱形式へ足すと、なぜ外部領域を明示的に残さなくても外部エネルギーを数えられるのでしょうか。

2. 球面調和次数 $\ell$ を上げると、外部減衰とDtN固有値はそれぞれどう変化しますか。

3. FEMのSchur補元とBEM/MoMの境界作用素は、何を共通の入出力として持ちますか。

4. Maxwell問題のDtNがscalarの法線微分ではなく、接線traceを結ぶ作用素になるのはなぜでしょうか。

参考

NGSolve: FEM--BEM Coupling：$H^{1/2}(\Gamma)$ と $H^{-1/2}(\Gamma)$ のtrace空間、Calderón作用素、FEM--BEM結合行列を実装と対応させて確認できます。
NGSolve: Dirichlet Laplace Direct Method：既知のDirichlet値から未知のNeumann値を境界要素法で求める直接法です。
Bao, Li, and Yuan, *An Adaptive Finite Element DtN Method for the Elastic Wave Scattering Problem in Three Dimensions*：DtN透明境界条件により外部問題を有限領域へ等価に縮約するFEMの例です。

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