微分幾何 第38章 微分形式による微分幾何学
動く直交標構と双対1形式θ、接続1形式ω、曲率2形式Ωを統合します。Levi–Civita接続での第一式は捩れなしを表し、第二式が曲率を定めます。Gauss・Codazziの適合条件、計量からの曲率計算へ進む入口です。
\[
\begin{aligned}d\vartheta^i+\omega^i{}_j\wedge\vartheta^j&=0\\\Omega^i{}_j&=d\omega^i{}_j+\omega^i{}_k\wedge\omega^k{}_j\end{aligned}
\]
確認課題： 接続1形式が標構変更で変わったら、曲率の物理的内容も変わる？
手がかり
成分表示と幾何学的な量を区別します。
解答を開く
変わりません。曲率は適切な変換則で表されます。球面剛性や38.13のブラックホール曲率の詳細導出は、この一周版では未展開です。