微分幾何 第29章 リーマン曲率
共変微分を異なる順序で行った差が曲率作用素です。Lie括弧の補正により座標に依存しないテンソルになります。符号規約はここに示す定義に固定します。
\[
R(X,Y)Z=\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z
\]
確認課題： 接続係数が一点で零なら、その点の曲率も零？
手がかり
曲率には接続係数の微分も入ります。
解答を開く
一般には違います。正規座標で接続係数を一点で零にできても曲率は残ります。