微分幾何 第22章 外在的構成法：射影して運ぶ
曲面に沿ってベクトルを動かし、その変化の接平面成分を零にするのがLevi–Civita平行移動です。外在的な射影から構成できますが、結果は誘導計量に対応します。有限幅で一度だけ射影すると長さは減り得るので、微小ステップの極限と区別します。
\[
\nabla_{\dot\gamma}\vec V=\operatorname{proj}_{TS}\dfrac{d\vec V}{dt}=0
\]
確認課題： 平行移動でベクトルの長さは保たれる？
手がかり
長さの二乗を微分します。
解答を開く
はい。計量適合性より微分は2〈∇V,V〉=0です。