微分幾何 第19章 ベクトル場による証明
孤立零点の周囲の小円でベクトルの方向が何回転するかを指数として数えます。連続な接ベクトル場をもつコンパクトな境界なし曲面では、孤立零点の指数和がEuler標数です。曲面上の零点を除いて標構を作り、その境界の回転を曲率積分へ結ぶとGauss–Bonnetへ到達します。
\[
\sum_p\operatorname{ind}_p(\vec V)=\chi(S)
\]
確認課題： 球面上に指数+1の零点が二つある場合、指数和は？
手がかり
両方を足します。
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2でχ(S²)に一致します。平面の鞍点(x,−y)の指数は−1。線場の半整数指数と通常のベクトル場の整数指数は区別します。