微分幾何 第18章 余剰角度による証明
閉曲面を十分細かい測地三角形で分割します。全頂点の角の和は2πV、各三角形の角超過は内部の曲率積分です。境界なしでは3F=2Eなので、全曲率は2πV−πF=2π(V−E+F)になります。分割の辺は計算の都合であり、曲面の物理的な折れ目ではありません。
\[
\chi=V-E+F,\qquad \int_S K\,dA=2\pi\chi
\]
確認課題： 球面の四面体型分割でV=4、E=6、F=4なら？
手がかり
Euler標数を先に計算します。
解答を開く
χ=2、全曲率4πです。滑らかな測地三角形の角超過と、平面三角形を貼った多面体の頂点欠損は別の局所量ですが、総和が対応します。