3Dで学ぶ電磁気学

C-6 アンペールの法則

この回で身につける

到達目標

対称性から有効なアンペール経路を選べる。
経路が囲む電流 $I_{\mathrm{enc}}$ を数えられる。
多数の平行電流が作る合成磁界を積分形と結び付けられる。

前提知識

線積分 $\oint_C\vec H\cdot d\vec\ell$
第7回の無限長直線電流
磁界の重ね合わせと対称性

学習の順序

どの経路なら $\vec H$ が一定になるか確かめる。
C-6-1～C-6-4で電流数と配置を変える。
包絡電流と経路長から磁界を計算する。

電磁気学の理解実験

アンペールの法則は、どんな形の経路でも $H=I/(2\pi r)$ を与えるか

観察ポイント: 円形経路をずらした場合でも $\oint_C\vec H\cdot d\vec\ell=I_{\mathrm{enc}}$ は成り立つか。また、積分から $H$ をそのまま外へ出せるかを分けて答える。

操作: C-6-1で円周方向と半径依存を確認し、C-6-2・C-6-3では電流本数を変えて、離散電流列が電流シートの場へ近づく様子を見る。

観察した後に、積分則と対称性を分けて説明する

アンペールの積分則は任意の閉路で成り立つが、$H$ を積分の外へ出せるのは、対称性から接線方向で大きさ一定と分かる経路だけである。公式 $H=I/(2\pi r)$ は法則そのものではなく、円筒対称性を併用した結果である。

別問題へ: まず包絡電流を数え、次に対称性を点検し、最後に経路を選ぶという順序をソレノイドとトロイドでも使う。

可視化 C-6-1

直線電流のまわりにできる磁界を考えよう。電流が $+z$ 方向に流れると、磁界は電流を中心に、$+z$ 軸側から見て反時計回りに発生する。アンペールの法則は、閉じた経路に沿った磁界の積分が、その経路を貫く電流で決まることを表している。

\oint_C \vec{H}\cdot d\vec{\ell}=I_{\mathrm{enc}}

\vec{H}(\rho) = \dfrac{I}{2\pi\rho}\vec{e}_{\theta}, \qquad \vec{B}(\rho)=\mu_0\vec{H}(\rho)

下の図では、中央を貫く緑の矢印が直線電流、電流のまわりを回る青い矢印群が磁界の向き、黒い円形の閉曲線がアンペール経路を表している。マウス操作で回転・拡大し、電流の向きと磁界の回り方の関係を確認しよう。

電流の向きアンペール経路半径 $\rho$

可視化 C-6-2 一枚の電流面：両側の磁界跳躍

同じ向きに流れる多数の平行電流を考える。ここでは、緑の導体列に電流がすべて $+y$ 方向に流れている場合を描く。一本一本の電流は自分のまわりに回転する磁界を作るが、多数並べると、それらの磁界が重なって、電流列全体が作る合成磁界として見える。

アンペール経路が $N$ 本の電流をまとめて囲む場合、包絡電流は $I_{\mathrm{enc}}=NI$ となる。下の図では、青い磁束線と青い矢印は個別電流ではなく、すべての電流が作る磁界を合成した後の場から描いている。

この図でも導線間隔 $s$ と1本あたりの電流 $I$ を固定し、列の両端へ導線を足して長さ $L\simeq(N-1)s$ を延ばします。したがって面電流密度 $K=NI/L\simeq I/s$ はほぼ一定です。観察するのは電流を強くする操作ではなく、有限列の中央部が一枚の無限電流面へ近づく過程です。

I_{\mathrm{enc}} = \sum_{k=1}^{N} I_k = NI

\vec{B}(\vec{r}) = \mu_0 \sum_{k=1}^{N} \dfrac{I}{2\pi\rho_k}\vec{e}_{\theta k}

理想的な無限電流面を $z=0$、表面電流を $\vec K=K\vec e_y$ とすると、両側の磁界は逆向きで、大きさはそれぞれ $K/2$ になります。

\vec H^{+}=\dfrac{K}{2}\vec e_x, \qquad \vec H^{-}=-\dfrac{K}{2}\vec e_x, \qquad \vec e_z\times\left(\vec H^{+}-\vec H^{-}\right)=\vec K

有限列を伸ばす：電流本数 $N$ 25本

$s$ と $I$ を固定して $N:7\to70$ とすると、面の両側の磁界は？

同じ電流面の上側と下側で、右手則による向きをまず図を動かして確かめてください。両側の平均磁界と境界跳躍は、結果を確かめた後に表示します。

表示値は、すべての $N$ で同じ中央標本帯を使った平均です。上側は $H_x/(K/2)$、下側は同じ規格化で負の値を示します。跳躍は $(H_x^{+}-H_x^{-})/K$、むら $\sigma$ は標本帯内の一様性の指標です。有限列では理想値から外れますが、列を伸ばすと両側の大きさと跳躍は1へ、むらは0へ近づきます。

可視化 C-6-3

2枚の平行な電流列を考える。$z=-d$ の列では電流が $+y$ 方向、$z=+d$ の列では電流が $-y$ 方向に流れているとする。これは、長いソレノイドを断面で見たときの面電流モデルに近い。教科書で内部磁界を $x$ 方向にそろえて説明する形に合わせるため、電流方向と磁界方向の取り方を入れ替えている。

2枚の電流列の間では、それぞれの列が作る磁界が $+x$ 方向に重なり、外側では弱め合いやすくなる。青い磁束線は、$z=-d$ と $z=+d$ の両方の電流列を合成した後の場から描いている。ソレノイド内部に磁束がそろいやすい理由を、このモデルで確認しよう。

この図のスライダーは、導線間隔 $s$ と1本当たりの電流 $I$ を固定し、列の両端へ導線を足して長さ $L\simeq(N-1)s$ を延ばします。したがって $K=NI/L\simeq I/s$ はほぼ一定であり、観察するのは磁界の比例増加ではなく、有限長の端効果が減って無限電流シートの極限へ近づく過程です。

\vec{B}(\vec{r}) = \mu_0 \sum_{k=1}^{N} \dfrac{I_k}{2\pi\rho_k}\vec{e}_{\theta k}

\vec{B}_{\mathrm{inside}} \simeq \mu_0 K\,\vec{e}_x, \qquad K=\dfrac{NI}{L}

有限列を伸ばす：片側の電流本数 $N$ 25本×2

間隔 $s$ と1本あたりの電流 $I$ を固定して $N:7\to70$ とすると？

導線本数ではなく、K≈I/sと有限長の端効果を分けて図を動かして確かめてください。内外の平均磁界は、結果を確かめた後に表示します。

表示値は、すべての $N$ で同じ中央標本帯を使って平均した $|\vec H|/K$ です。理想的な無限シート対では内部が1、外部が0です。有限列では端部から磁界が回り込むため、途中の外部平均が単調に減るとは限りませんが、十分に列を伸ばすと0へ近づきます。なお、$L$ を固定したまま $N$ を増やす別操作では $K=NI/L$ 自体が増えるため、この実験と区別してください。

可視化 C-6-4 講義演習：対称性からアンペール経路を選ぶ

着眼点

配置を変えたとき、どの経路なら $\vec H$ が接線方向で一定になるか。

操作

単一電流、同方向電流列、逆方向の二列を切り替え、経路を選ぶ。

説明

対称性、包絡電流 $I_{\mathrm{enc}}$、有効経路長の順に式を組み立てる。

電流配置と経路半径を変え、経路が包む電流と循環の関係を比較します。

\oint_C\vec H\cdot d\vec\ell=I_{\mathrm{enc}}

H\,\ell_C=I_{\mathrm{enc}} \quad\text{は経路上で }H\text{ が一定のときに使える}

電流配置経路半径

例題と理解確認

数値例題

矩形アンペール経路のうち、磁界と平行で寄与する長さを $\ell=0.20\,\mathrm{m}$ とする。経路が $N=20$ 本、各 $I=0.50\,\mathrm{A}$ の電流を囲み、他の辺の積分が対称性により0なら、

H\ell=NI, \qquad H=\dfrac{(20)(0.50)}{0.20}=50\,\mathrm{A/m}

空気中なら $B=\mu_0H\simeq6.28\times10^{-5}\,\mathrm{T}$ である。

よくある誤解

アンペールの法則はどの閉曲線でも成り立つが、磁界を簡単に求められるのは対称性のよい経路だけである。
$I_{\mathrm{enc}}=0$ でも、経路上の各点で $\vec H=\vec0$ とは限らない。
経路を通過する電流は、面の法線に対する正負の向きを付けて数える。

確認問題

アンペール経路が電流を1本も囲まない場合、循環積分と局所磁界について何が言えるか。
円筒対称な無限長直線電流では、なぜ半径 $r$ の円を経路に選ぶと計算しやすいか。
同じ経路長で、囲む同方向電流の本数を2倍にすると $H$ は何倍になるか。

問1のヒントを見る

ヒント: 法則が拘束するのは閉曲線全体の積分値である。

解答: $\oint_C\vec H\cdot d\vec\ell=0$。ただし正負の寄与が相殺することがあり、局所的な磁界が0とは限らない。

問2のヒントを見る

ヒント: 回転対称性から、同じ半径上の磁界の大きさと向きを考える。

解答: 円周上で $|\vec H|$ が一定かつ接線方向なので、積分が $H(2\pi r)$ になる。

問3のヒントを見る

ヒント: $H\ell=NI$。

解答: 包絡電流が2倍になるため、$H$ も2倍になる。

今回のまとめ

アンペールの法則は磁界の循環と包絡電流を結び付ける。
計算では、磁界が一定または積分へ寄与しない区間を作れる対称な経路を選ぶ。
循環積分が0であることと、経路上の磁界がすべて0であることは同じではない。