3Dで学ぶ電磁気学

C-5 ソレノイドコイル

この回で身につける

到達目標

ソレノイドを多数の円形電流の重ね合わせとして説明できる。
有限長ソレノイドの軸上磁界を端点角で評価できる。
短いコイルと十分に長いソレノイドの極限を比較できる。

前提知識

円形コイルが作る磁界
磁界の重ね合わせ
巻数密度 $n=N/L$

学習の順序

長さを変えたときの内外磁界を確かめる。
C-5-1、C-5-2で長さと観測点を動かす。
有限長公式から $B\simeq\mu_0nI$ を説明する。

電磁気学の理解実験

有限ソレノイドは、いつ $B\simeq\mu_0nI$ と見なせるか

観察ポイント: 巻線ピッチをほぼ一定に保って長さを縮めたとき、中央磁場、端部の漏れ、外部へ戻る磁束線がどう変わるか。1ターン極限も描く。

操作: 長さ $L$ と巻数 $N$ の表示を同時に読み、内部の中央と端部を分けて観察する。磁束線が途中で始まったり終わったりしていないことも確認する。

観察した後に、重ね合わせと極限で説明する

各巻線の場を重ねると、長いソレノイドの中央では横成分が相殺され $B\simeq\mu_0nI$ に近づく。短くなると端部効果が全体を占め、1ターンの円形コイルへ連続的に移る。

別問題へ: $N$ 一定で $L$ を変える場合と、巻線ピッチ一定で $N\propto L$ とする場合を区別し、何を固定した実験かを必ず述べる。

可視化 C-5-1

有限ソレノイドを半径 $a$、長さ $L$、巻数密度 $n$ の円形電流の重ね合わせとする。軸上位置 $x$ の磁束密度は端点までの幾何だけで決まり、$\lambda=L/a$ とおけば中心 $P_c$ と端 $P_e$ では次の無次元値になる。

\dfrac{B_x(x)}{\mu_0nI} =\dfrac{1}{2}\left[ \dfrac{x+L/2}{\sqrt{a^2+(x+L/2)^2}} -\dfrac{x-L/2}{\sqrt{a^2+(x-L/2)^2}} \right]

\dfrac{B_c}{\mu_0nI}=\dfrac{\lambda}{\sqrt{\lambda^2+4}} \longrightarrow 1, \qquad \dfrac{B_e}{\mu_0nI}=\dfrac{\lambda}{2\sqrt{\lambda^2+1}} \longrightarrow \dfrac{1}{2}

3D図は代表巻線だけを描き、実際の巻数密度は式と出力値で扱う。確認を確定した後、中心・端・側方外部の三点と代表磁束線を開き、内部の $+x$ 向きと外部の戻り方向を区別しよう。

巻数密度 $n$ と電流 $I$ を固定して $L/a$ を大きくすると

長さと半径を動かすと、場がその場で更新されます。

長さ比 $L/a$ L/a = 3.0

● 代表巻線・電流→ 中心場 $\vec{B}_c$→ 端部場 $\vec{B}_e$→ 側方外部の戻り場

可視化 C-5-2 講義演習：三つの極限を軸上分布で読む

着眼点

十分長くしたとき、中心、端、軸上外部は同じ値へ近づくか。

操作

C-5-1と同期する $L/a$ を変え、中心点と端点が曲線上のどこへ移るかを読む。

説明

中心は1、端は1/2、軸上の遠方は0となることを端点角から説明する。

青線は軸上の有限長解、赤破線は無限長内部場 $\mu_0nI$、緑の縦線は二つのコイル端を表す。3D図の中心 $P_c$ と端 $P_e$ が、紫点と橙点として同じ $L/a$ で動く。

\lambda\longrightarrow\infty \quad\Rightarrow\quad \dfrac{B_c}{\mu_0nI}\longrightarrow1, \qquad \dfrac{B_e}{\mu_0nI}\longrightarrow\dfrac12

\left|\dfrac{x}{a}\right|\longrightarrow\infty \quad\Rightarrow\quad \dfrac{B_x(x)}{\mu_0nI}\longrightarrow0

長さ比 $L/a$ L/a = 3.0

例題と理解確認

数値例題

十分に長い空心ソレノイドの巻数密度を $n=1000\,\mathrm{m^{-1}}$、電流を $I=0.80\,\mathrm{A}$ とする。

B\simeq\mu_0nI =(4\pi\times10^{-7})(1000)(0.80) \simeq1.01\times10^{-3}\,\mathrm{T}

中心付近の磁束密度は約 $1.01\,\mathrm{mT}$ である。端部では漏れ磁束があるため、この値より小さくなる。

よくある誤解

$B=\mu_0nI$ は有限長ソレノイドの全空間で厳密に成り立つ式ではない。
長さだけを変えるとき、総巻数 $N$ を固定するのか巻数密度 $n$ を固定するのかで結果が異なる。
有限長ソレノイドの外部磁界は0ではなく、端部から回り込む。

確認問題

$n$ と $I$ を固定し、すでに十分長いソレノイドをさらに長くすると中心磁界はどうなるか。
同じ $n$ で電流を2倍にすると、長いソレノイド内部の $B$ は何倍になるか。
ソレノイドを極端に短くすると、どのような電流配置へ近づくか。

問1のヒントを見る

ヒント: 長い極限の中心式は $B\simeq\mu_0nI$。

解答: ほぼ変化せず、$\mu_0nI$ に近い値を保つ。端部の影響だけがさらに小さくなる。

問2のヒントを見る

ヒント: 線形な空気中では $B\propto I$。

解答: 2倍になる。

問3のヒントを見る

ヒント: 軸方向に並べた円形電流の間隔を縮めるのではなく、コイル全体の長さを小さくする。

解答: 巻線が同じ位置へ集まり、1ターンまたは多重巻きの円形コイルに近づく。

今回のまとめ

ソレノイドは軸方向に並んだ円形電流の重ね合わせとして理解できる。
有限長では端点角が磁界を決め、長い極限で $B\simeq\mu_0nI$ となる。
長さの効果を論じるときは、$N$ と $n$ のどちらを固定したかを明示する。