3Dで学ぶ電磁気学

C-4 正方形コイルが作る磁束線

この回で身につける

到達目標

有限辺が作る磁束密度をビオ・サバールの法則から求められる。
正方形・正六角形コイルを各辺の寄与の和として扱える。
磁束密度 $\vec B$、磁束線、磁束 $\mathit{\Phi}$ を区別できる。

前提知識

第7回の有限直線電流
ベクトルの成分分解と重ね合わせ
閉じた電流経路の向き

学習の順序

中心軸上で横成分が消える理由を確かめる。
C-4-1～C-4-4で辺数と観測点を変える。
各辺の軸方向成分の和として説明する。

電磁気学の理解実験

多角形コイルの軸上で、横向き成分はどこへ消えるか

観察ポイント: 軸上点 $P$ で向かい合う二辺の寄与を加えたとき、横方向成分と軸方向成分はそれぞれ相殺・加算のどちらになるか。

操作: C-4-2とC-4-3の共有操作で $u=z/a$ を動かし、正方形と正六角形をそれぞれ対向辺の組へ分解する。C-4-4で $B_z$ の低下と遠方の $1/z^3$ を確かめる。

観察した後に、対称性と遠方極限で説明する

対向辺の横方向成分は等大反対向きなので0となり、軸方向成分は同じ向きなので2倍になる。全ての対向組を足しても横成分は0で、軸方向成分だけが残る。十分遠方では各辺の大きな横成分が相殺した後の小さな差だけが残り、閉電流ループの軸上磁場は $1/z^3$ で減衰する。

比較の範囲: 二つの多角形は同じ内接円半径 $a$ で幾何学を追い、各形状の内部で相殺と加算を確認する。

別問題へ: 辺数をさらに増やす場合も、有限辺の寄与を対向組へ分けて同じ手順で検証できる。

可視化 C-4-1

正方形コイルに電流 $I$ を流すと、4本の有限長線分電流がそれぞれ磁束密度 $\vec{B}$ を作り、その重ね合わせとしてコイル全体の磁束密度が決まる。線分電流を向き $\vec{t}$、経路上の点を $\vec{r}'(s)$ として表すと、1本の線分が観測点 $\vec{r}$ に作る磁束密度は次の積分で表せる。

\vec{B}_{\mathrm{seg}}(\vec{r}) = \dfrac{\mu_0 I}{4\pi} \int_{s_1}^{s_2} \dfrac{\vec{t}\times(\vec{r}-\vec{r}'(s))}{|\vec{r}-\vec{r}'(s)|^3}\,ds

正方形コイルでは、この線分電流の寄与を4辺について足し合わせる。

\vec{B}(\vec{r})=\sum_{k=1}^{4}\vec{B}_{\mathrm{seg},k}(\vec{r})

中心 $O$ では4辺の横向き成分が打ち消し合い、辺長を $2a$ とすると法線方向の成分だけが残る。

B_z(O)=\frac{\sqrt{2}\mu_0 I}{\pi a}

この可視化で見ているのは、磁束そのもの $\mathit{\Phi}$ ではなく、各点の磁束密度 $\vec{B}$ と、その向きに沿う磁束線である。最初から表示される4本の代表磁束線を回転して、コイル面を貫いた場が外側を通って戻る様子を追おう。次に電流を反転し、代表磁束線を4本、8本、12本と段階的に増やして、向きの反転と空間的な回り込みを分けて観察する。

電流方向（$+z$ 側から見る）代表磁束線

緑：電流経路 $C$ と電流方向青：向きを追うための代表磁束線（本数は強度ではない）金：中心の $\vec B(O)$ とコイル法線灰：右手系の $x,y,z$ 軸とコイル面

右手の法則： $+z$ 側から見て電流が反時計回りなら、右手の指を電流方向へ曲げたとき親指は $+z$ を向きます。電流を反転すると、磁束線の形は同じまま矢印と $\vec B(O)$ の向きが反転します。

磁束線の読み方： 磁束線は各点で $d\vec r/ds\parallel\vec B$ を満たす積分曲線で、物理的なひもではありません。$\nabla\cdot\vec B=0$ なので途中から発生・消滅せず閉じて回り込みます。表示本数は見通しをよくするための選択であり、磁場強度や磁束の値を表しません。

可視化 C-4-2

正方形コイルを、向かい合う二辺からなる2組へ分ける。中心から各辺までの距離を $a$、無次元高さを $u=z/a$ とする。対向する辺 $k$ と $k+2$ が軸上点 $P$ に作る磁束密度は、横方向成分が等大反対向き、軸方向成分が同じ向きになる。

\vec B_{\perp,k}+\vec B_{\perp,k+2}=\vec 0, \qquad B_{z,k}+B_{z,k+2}=2B_{z,k}

4辺を全て足すと横成分は0で、$+z$ 成分だけが残る。正方形では次の無次元式になる。

\beta_4(u) \equiv\dfrac{2\pi aB_z}{\mu_0I} =\dfrac{4}{(1+u^2)\sqrt{u^2+2}}, \qquad \beta_4(0)=2\sqrt2

コイル、対向辺、軸上点 $P$、淡青と桃色の二寄与、紫の対向組の和、濃青の全4辺の和を最初から同じ3D図に示す。高さを直接動かし、矢印を回転して見ると、横方向が反対で軸方向が同じことを確認できる。

高さと成分を直接操作

向かい合う二辺を足すと、何が残るか

無次元高さ $u=z/a$ 代表状態

黄：注目する対向辺淡青：$\vec B_k$ 桃：$\vec B_{k+2}$ 紫：対向二辺の和濃青：全4辺の $\vec B$ 四本の磁場矢印は同一高さ内で共通倍率（正方形では $|\vec B|=2|\vec B_{pair}|$）

可視化 C-4-3 正六角形コイルの軸上磁束密度

同じ分解を正六角形へ広げる。ここでも中心から辺までの距離を $a$ とし、3組の対向辺として考える。一般の偶数辺正多角形では、$N/2$ 組の全てで横成分が相殺し、軸成分が加算される。

\vec B_{\perp,k}+\vec B_{\perp,k+N/2}=\vec0, \qquad B_{z,k}+B_{z,k+N/2}=2B_{z,k}

まずコイル中心を $O$、黄色の代表辺 $AB$ の中点を $Q$ とする。$Q$ は中心軸上の観測点 $P$ から電流辺へ下ろした垂線の足でもある。距離三角形 $OQP$ では $OQ=a$、$OP=z=ua$ かつ $OQ\perp OP$ なので、

\ell=|QP|=\sqrt{a^2+z^2}=a\sqrt{1+u^2}

と読める。次に端点 $A,B$ を加える。図の灰色破線 $AP$、$BP$ は

$\vec R_1=\overrightarrow{AP}$、$\vec R_2=\overrightarrow{BP}$ を表す計算用の補助線であり、磁力線でも電流経路でもない。$\phi_1$ は $A$ で辺の内向き $AB$ と $AP$ の間、$\phi_2$ は $B$ で辺の内向き $BA$ と $BP$ の間に取る。

正六角形では半辺長 $AQ=BQ=a\tan(\pi/6)=a/\sqrt3$ であり、$AB\perp QP$ である。したがって端点三角形 $AQP$、$BQP$ から

|AP|=|BP|=a\sqrt{u^2+\dfrac43},

\cos\phi_1=\cos\phi_2 =\dfrac{a/\sqrt3}{\sqrt{\ell^2+a^2/3}} =\dfrac{1}{\sqrt{4+3u^2}}

と読める。有限直線辺のビオ・サバール積分は、この二つの余弦をそのまま使って

\vec B_k(P) =\dfrac{\mu_0I}{4\pi\ell} \left(\cos\phi_1+\cos\phi_2\right) \left(\hat{\boldsymbol s}_k\times\hat{\boldsymbol\rho}_k\right), \qquad \hat{\boldsymbol\rho}_k=\dfrac{\overrightarrow{QP}}{\ell}

となる。三角形 $OQP$ と三角形 $AQP$、$BQP$ は辺 $QP$ を共有し、それらを含む二つの面は互いに直交する。「計算幾何へ寄る」で両面が同時に見える斜視へ移り、自由回転すると、一枚の平面図では見えないこの関係を確かめられる。高さ $u$ を動かすと $P$、$OP$、二本の端点補助線、$\ell$、$\phi_1,\phi_2$ が同じ状態で変わる。

内接円半径 $a$ を共通の長さ尺度にすると、正 $N$ 角形の軸上磁場は一つの式で表せる。

\beta_N(u) \equiv\dfrac{2\pi aB_z}{\mu_0I} =\dfrac{N\tan(\pi/N)}{(1+u^2)\sqrt{u^2+\sec^2(\pi/N)}}

したがって正六角形では中心で $\beta_6(0)=3$、遠方では $u^3\beta_6(u)\to2\sqrt3$ となる。正方形と数値が違うのは、同じ $a$ でも囲む面積が違うためである。この図の目的は優劣比較ではなく、各形状の内部で対向辺がどのように相殺・加算されるかを確かめることにある。

四本の磁場矢印は、その高さの中ではすべて同じ倍率で描く。正六角形の軸上では全六辺の和が対向二辺の和のちょうど3倍なので、濃青の矢印も紫の矢印の3倍になる。高さごとに最長矢印が画面へ収まる共通倍率を選ぶため、高さをまたぐ磁場の減衰量はC-4-4のグラフで比較する。

視点（同じ物理状態）全体3D：六角形全体と磁場ベクトルを同時に表示しています。A/B付きの黄辺だけに計算補助線を示します。

黄：代表辺とその対向辺（補助線はA/B付きの代表辺だけ）青緑：$OQ=a$、$OP=z=ua$（距離三角形、磁場ではない）灰色破線：$A$--$P$、$B$--$P$（$\cos\phi$ 用の補助線、磁力線ではない）淡灰破線：$Q$--$P$（垂直距離 $\ell$）淡青：$\vec B_k$ 桃：$\vec B_{k+3}$ 紫：対向二辺の和濃青：全6辺の $\vec B$ 四本の磁場矢印は同一高さ内で共通倍率（正六角形では $|\vec B|=3|\vec B_{pair}|$）

可視化 C-4-4 軸上磁場の減衰と遠方 $1/z^3$ 極限

着眼点

距離を増やしたとき、軸上磁場は $1/z^2$ と $1/z^3$ のどちらへ近づくか。

操作

C-4-2の共有 $u=z/a$ を近傍から遠方まで動かす。

説明

傾き $p=-d\log B_z/d\log u$ と $u^3\beta_N$ の極限を読む。

上段は各形状について $B_z(u)/B_z(0)$ を対数目盛で示す。下段は $u^3\beta_N(u)$ を示し、遠方で多角形の面積に対応する一定値 $N\tan(\pi/N)$ へ近づくことを確かめる。現在位置の局所減衰指数

p_N(u) =-\dfrac{d\log B_z}{d\log u} =\dfrac{2u^2}{1+u^2}+\dfrac{u^2}{u^2+\sec^2(\pi/N)}

は、近傍では0に近く、遠方では3へ近づく。これは各辺単独の寄与ではなく、閉じたループ全体で横成分を相殺した後の軸方向和の性質である。

青：正方形 $N=4$ 橙：正六角形 $N=6$ 緑：現在の $u$ 灰破線：遠方極限

例題と理解確認

数値例題

一辺 $s=0.10\,\mathrm{m}$ の正方形コイルに $I=2.0\,\mathrm{A}$ を流す。中心では4辺の寄与が同じ向きに加わる。

B_{\mathrm{center}} =4\dfrac{\mu_0I}{4\pi(s/2)}(\sin45^\circ+\sin45^\circ) =\dfrac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi s} \simeq2.26\times10^{-5}\,\mathrm{T}

中心の磁束密度は約 $22.6\,\mu\mathrm{T}$ で、向きはコイル電流に右ねじを合わせて決める。

よくある誤解

磁束線は磁束密度の方向をつないだ曲線であり、線そのものが物理的な糸として存在するわけではない。
「正方形コイルが作る磁束線」という題でも、各点で計算している量は磁束密度 $\vec B$ である。
各辺の磁界の大きさだけを足すのではなく、ベクトル成分を足す。

確認問題

正方形コイル中心で、4辺が作る磁束密度はなぜ同じ法線方向へ加わるか。
電流の向きを反転すると、中心の磁束密度はどう変わるか。
コイルから十分遠い軸上で、磁束密度は距離 $z$ に対しておよそ何乗で減少するか。

問1のヒントを見る

ヒント: 各辺に右ねじの法則を適用し、正方形の対称性を使う。

解答: 横方向成分は向かい合う辺で相殺し、コイル面に垂直な成分は同じ向きなので加算される。

問2のヒントを見る

ヒント: 各 $\vec B_k$ は電流 $I$ に比例する。

解答: 大きさは同じで、コイル軸方向の向きが反転する。

問3のヒントを見る

ヒント: 遠方では閉電流ループを磁気双極子として近似する。

解答: およそ $1/z^3$ で減少する。

今回のまとめ

多角形コイルの磁界は有限辺が作る $\vec B_k$ のベクトル和である。
中心軸上では対称性により横成分が相殺し、軸方向成分が残る。
磁束密度、磁束線、磁束は互いに関係するが同じ量ではない。