CAE-AI Lab 近畿大学 English

3Dで学ぶ電磁気学

A-4 円筒座標・球座標の単位ベクトル

この回で身につける

到達目標

  • 円筒座標と球座標の三つの単位ベクトルを右手系で描ける。
  • 観測点を動かしたとき、局所基底がどのように回転するか説明できる。
  • 尺度因子から線素、面積要素、体積要素を組み立てられる。

前提知識

  • 直交座標の単位ベクトル
  • 内積、外積、右手系
  • 円弧長 $r\,d\theta$

学習の順序

  1. 点 $P$ を動かす前に基底の向きを確かめる。
  2. 円筒座標と球座標の三脚を別々に操作する。
  3. 矢印の変化を線素と尺度因子の式へ戻す。

電磁気学の理解実験

座標を変えると、物理ベクトルまで別物になるか

観察ポイント: 円筒座標で $r,z$ を固定して $\theta$ だけ増やすと、$\vec e_r,\vec e_\theta,\vec e_z$ のどれが回転するか。球座標では極に近づくと方位方向の微小長さがどうなるか。

操作: 点 $P$ を動かし、基底の向きと尺度因子 $r$、$r\sin\vartheta$ を同時に読む。三脚が常に右手系で直交することも確かめる。

観察した後に、線素で説明する

座標基底は場所とともに回るが、物理ベクトルそのものは座標表示に依存しない。円筒座標の線素は $d\vec\ell=\vec e_rdr+\vec e_\theta r\,d\theta+\vec e_zdz$、球座標の方位方向は $r\sin\vartheta\,d\varphi$ である。

別問題へ: 点電荷には球座標、直線電流には円筒座標を選び、対称性によって残る成分を先に判定する。

直交座標の $\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z$ は場所を変えても向きが変わらない。一方、円筒座標と球座標の単位ベクトルは、観測点 $P$ の位置に合わせて回転する。ここでは、三つの単位ベクトルを点 $P$ の中心に置き、角度を動かしながら右手系と尺度因子を確認する。

本教材の円筒座標は、これまでの表記を保って $(r,\theta,z)$ とする。球座標では円筒座標の $\theta$ と混同しないよう、極角を $\vartheta$、方位角を $\varphi$ と書く。教科書の球座標 $(r,\theta,\varphi)$ では、本教材の $\vartheta$ が教科書の $\theta$ に対応する。

可視化 A-4-1 円筒座標の $\vec{e}_r,\vec{e}_\theta,\vec{e}_z$

円筒座標では、$\theta$ を $+z$ 軸側から見て反時計回りに測る。$\vec{e}_r$ は $z$ 軸から外へ向かい、$\vec{e}_\theta$ は $r$ 一定の円に接し、$\vec{e}_z$ は高さが増える向きである。

\[ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad z=z \]
\[ \begin{aligned} \vec{e}_{r}&=\cos\theta\,\vec{e}_x+\sin\theta\,\vec{e}_y,\\ \vec{e}_{\theta}&=-\sin\theta\,\vec{e}_x+\cos\theta\,\vec{e}_y,\\ \vec{e}_{z}&=(0,0,1), \qquad \vec{e}_{r}\times\vec{e}_{\theta}=\vec{e}_{z} \end{aligned} \]

三つの微小移動を足すと、円筒座標の線素が得られる。角度を $d\theta$ だけ変えた実際の移動距離が $r\,d\theta$ になることが、尺度因子 $r$ の意味である。

\[ d\vec{\ell} =\vec{e}_r\,dr+\vec{e}_\theta\,r\,d\theta+\vec{e}_z\,dz \]
\[ \vec{e}_r\cdot\vec{e}_\theta =\vec{e}_\theta\cdot\vec{e}_z =\vec{e}_z\cdot\vec{e}_r=0, \qquad \left|\vec{e}_r\right| =\left|\vec{e}_\theta\right| =\left|\vec{e}_z\right|=1 \]
着眼点

$\theta$ だけを変えたとき、どの基底が回転し、どの基底が変わらないかを先に考える。

操作

$r,\theta,z$ を動かし、点 $P$ と三つの矢印の向きを別々に追う。

説明

$\vec{e}_r\times\vec{e}_\theta=\vec{e}_z$ と内積ゼロを、表示された直交三脚で確かめる。

対話型可視化。内容は直前の本文と数式でも説明しています。

可視化 A-4-2 球座標の $\vec{e}_r,\vec{e}_\vartheta,\vec{e}_\varphi$

球座標では、極角 $\vartheta$ を $+z$ 軸から下向きに測り、方位角 $\varphi$ を $+z$ 軸側から見て反時計回りに測る。$\vec{e}_r$ は球面の法線、$\vec{e}_\vartheta$ は子午線の接線、$\vec{e}_\varphi$ は緯線の接線である。

\[ x=r\sin\vartheta\cos\varphi,\qquad y=r\sin\vartheta\sin\varphi,\qquad z=r\cos\vartheta \]
\[ \begin{aligned} \vec{e}_{r}&=(\sin\vartheta\cos\varphi,\sin\vartheta\sin\varphi,\cos\vartheta),\\ \vec{e}_{\vartheta}&=(\cos\vartheta\cos\varphi,\cos\vartheta\sin\varphi,-\sin\vartheta),\\ \vec{e}_{\varphi}&=(-\sin\varphi,\cos\varphi,0), \qquad \vec{e}_{r}\times\vec{e}_{\vartheta}=\vec{e}_{\varphi} \end{aligned} \]

球面上では、極角方向の移動距離は $r\,d\vartheta$、方位角方向の移動距離は緯線の半径 $r\sin\vartheta$ を使って $r\sin\vartheta\,d\varphi$ となる。極では $\sin\vartheta=0$ なので、方位角を変えても同じ点に留まる。

\[ d\vec{\ell} =\vec{e}_r\,dr +\vec{e}_\vartheta\,r\,d\vartheta +\vec{e}_\varphi\,r\sin\vartheta\,d\varphi \]
\[ \vec{e}_r\cdot\vec{e}_\vartheta =\vec{e}_\vartheta\cdot\vec{e}_\varphi =\vec{e}_\varphi\cdot\vec{e}_r=0, \qquad \left|\vec{e}_r\right| =\left|\vec{e}_\vartheta\right| =\left|\vec{e}_\varphi\right|=1 \]
着眼点

$\vartheta$ を $0$ に近づけたとき、緯線と $\vec{e}_\varphi$ の位置関係がどう見えるか考える。

操作

$r,\vartheta,\varphi$ を動かし、球面の法線、子午線接線、緯線接線を見分ける。

説明

$r\sin\vartheta$ が緯線半径になることを、球面上の円と線素の式へ戻して説明する。

対話型可視化。内容は直前の本文と数式でも説明しています。

円筒座標と球座標を混同しないために

円筒座標の $\vec{e}_z$ はどこでも同じ向きだが、球座標の三基底はすべて位置とともに回転する。また、同じ方位角の位置では、円筒座標の $\vec{e}_\theta$ と球座標の $\vec{e}_\varphi$ は同じ接線方向を向く。

\[ \vec{e}_\theta^{\,(\mathrm{cyl})} =\vec{e}_\varphi^{\,(\mathrm{sph})} =-\sin\varphi\,\vec{e}_x+\cos\varphi\,\vec{e}_y \quad (\theta=\varphi) \]
\[ \nabla f =\vec{e}_r\dfrac{\partial f}{\partial r} +\vec{e}_\theta\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial f}{\partial\theta} +\vec{e}_z\dfrac{\partial f}{\partial z} \quad\text{（円筒座標）} \]
\[ \nabla f =\vec{e}_r\dfrac{\partial f}{\partial r} +\vec{e}_\vartheta\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial f}{\partial\vartheta} +\vec{e}_\varphi\dfrac{1}{r\sin\vartheta}\dfrac{\partial f}{\partial\varphi} \quad\text{（球座標）} \]

尺度因子を掛け合わせれば面積要素と体積要素も得られる。Canvasで $r$ や $\vartheta$ を動かしたとき、円周や緯線の大きさが変わる様子と次式を対応させよう。

\[ dV_{\mathrm{cyl}}=r\,dr\,d\theta\,dz, \qquad dV_{\mathrm{sph}}=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\vartheta\,d\varphi \]

例題と理解確認

数値例題

円筒座標で $r=2.0\,\mathrm{m}$、$dr=0.10\,\mathrm{m}$、$d\theta=0.050\,\mathrm{rad}$、$dz=0.20\,\mathrm{m}$ の微小移動を考える。

\[ d\vec\ell =0.10\vec e_r+(2.0)(0.050)\vec e_\theta+0.20\vec e_z \]
\[ d\vec\ell =0.10\vec e_r+0.10\vec e_\theta+0.20\vec e_z\ \mathrm{m} \]

角度増分 $d\theta$ は無次元だが、実際の周方向移動には尺度因子 $r$ を掛ける必要がある。

よくある誤解

確認問題

  1. 円筒座標で $\vec e_r\times\vec e_\theta$ はどの向きか。
  2. $r=2.0\,\mathrm{m}$ の円周上で $d\theta=0.10\,\mathrm{rad}$ だけ進むときの移動距離を求めよ。
  3. 球座標で $r=3.0\,\mathrm{m}$、$\vartheta=30^\circ$、$d\varphi=0.020\,\mathrm{rad}$ のとき、方位角方向の移動距離を求めよ。
問1のヒントを見る

ヒント: $+z$ 側から見た反時計回りを正の $\theta$ とする。

解答: $\vec e_r\times\vec e_\theta=\vec e_z$ である。

問2のヒントを見る

ヒント: 円弧長は $r\,d\theta$。

解答: $(2.0)(0.10)=0.20\,\mathrm{m}$。

問3のヒントを見る

ヒント: 緯線の半径は $r\sin\vartheta$。

解答: $(3.0)\sin30^\circ(0.020)=0.030\,\mathrm{m}$。

今回のまとめ