3Dで学ぶ電磁気学

A-5 Gaussの法則と導体

この回で身につける

電磁気学の理解実験

観察ポイント: 球形Gauss面の半径を2倍にしたとき、面上の $|\vec D|$、面積、全電束を別々に確かめる。

操作: 導体半径と観測半径を動かし、観測点が導体内外をまたぐときの $Q_{\mathrm{enc}}$、$D_r$、$E_r$、$V$ を読む。

観察した後に、Gaussの法則で説明する

導体外では $D_r\propto r^{-2}$、球面積は $4\pi r^2$ なので積は $Q$ のままである。導体内では静電平衡により $\vec E=\vec0$ だが、電位は表面電位で一定になる。

別問題へ: 対称性のない電荷分布ではGaussの法則は成立しても、$|\vec D|$ を面積分の外へ出せない。

自由電荷に対するGaussの法則は、任意の閉曲面 $S$ について

\oint_S\vec D\cdot\vec n\,dS=Q_{\mathrm f,enc}, \qquad \nabla\cdot\vec D=\rho_{\mathrm f}

です。半径 $a$ の導体球へ自由電荷 $Q$ を与え、外部を一様な誘電率 $\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r$ で満たすと、球対称性から

\vec D(r)=\dfrac{Q}{4\pi r^2}\vec e_r, \qquad \vec E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon r^2}\vec e_r \quad(r\ge a)

となります。基準を $V(\infty)=0$ とすれば、導体内外の電位は

V(r)= \begin{cases} \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon a},&0\le r\lt a,\\[5pt] \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon r},&r\ge a \end{cases}

です。電位は表面で連続し、導体内では一定です。

着眼点

$Q$、$a$、$r$、$\varepsilon_r$ のうち、$\vec D$ と $\vec E$ を別々に変える量を選ぶ。

操作

観測半径を導体の内外へ動かし、球面上の局所量と閉曲面全体の電束を比較する。

説明

まず自由電荷から $\vec D$ を求め、その後で $\vec E=\vec D/\varepsilon$ を適用する。

自由電荷 $Q$ [nC] 導体半径 $a$ [cm] 観測半径 $r$ [cm] 比誘電率 $\varepsilon_r$

$a=2.0\,\mathrm{cm}$、$Q=4.0\,\mathrm{nC}$、$\varepsilon_r=2.0$ の導体球について、$r=5.0\,\mathrm{cm}$ の電界を求める。

D_r=\dfrac{Q}{4\pi r^2}=1.27\times10^{-7}\,\mathrm{C/m^2}, \qquad E_r=\dfrac{D_r}{2\varepsilon_0}=7.19\times10^3\,\mathrm{V/m}

問1のヒントを見る

ヒント: $D_r\propto r^{-2}$ と面積 $4\pi r^2$ を分ける。

解答: $D_r$ は $1/9$、全電束は1倍のままである。

問2のヒントを見る

ヒント: 自由電荷と材料則の役割を分ける。

解答: $\vec D$ は不変、$\vec E$ は半分になる。

問3のヒントを見る

ヒント: 静電平衡では導体内の電界が0である。

解答: $\nabla V=\vec0$ なので、連結な導体内部で $V$ は位置によらず一定である。