CAE-AI Lab 近畿大学 English

3Dで学ぶ電磁気学

A-3 点電荷と電気力線

この回で身につける

到達目標

  • 点電荷の位置を平行移動した電位と電界を書ける。
  • 複数の点電荷が作る電位と電界を重ね合わせで求められる。
  • Gauss面上の局所的な電界と、閉曲面を貫く全電気力線束を区別できる。

前提知識

  • 点電荷の電位 $V\propto1/r$
  • 電界 $\vec E=-\nabla V$
  • ベクトルの和と対称性

学習の順序

  1. 電荷を動かしたとき場全体がどう動くか確かめる。
  2. 正負2電荷と同符号2電荷を同じ視点で比較する。
  3. 球形Gauss面を広げ、面上の $|\vec E|$ と全電気力線束を比較する。

電磁気学の理解実験

$V=0$ の点では、必ず $\vec E=\vec0$ か

観察ポイント: $y=+d$ に $+q$、$y=-d$ に $-q$ を置いたとき、原点の電位と電界を別々に確かめる。同符号2電荷の場合とも比較する。

操作: 電荷間隔を変え、等電位面の値と電気力線の接線方向を同時に追う。中点だけでなく、十分遠い点で場がどう見えるかも確認する。

観察した後に、重ね合わせで説明する

異符号・同じ大きさなら原点でスカラー電位は打ち消され $V=0$ になるが、電界は両方とも $+q$ から $-q$ へ向くため加算される。同符号なら逆に原点で $\vec E=\vec0$ でも $V\ne0$ である。

別問題へ: 対称性だけでゼロを判断せず、スカラー和 $V=\sum V_k$ とベクトル和 $\vec E=\sum\vec E_k$ を別々に評価する。

着眼点

2電荷の中点で、正負の組合せと同符号の組合せのどちらが $V=0$、どちらが $\vec E=\vec0$ になるか確かめる。

操作

A-3-1で電荷位置を動かし、A-3-2とA-3-3では等電位面と電気力線を同じ方向から見比べる。

説明

電位はスカラー和、電界はベクトル和であることを使い、中点で起こる打消しの違いを説明する。

可視化 A-3-1

点電荷を $y$ 方向にずらし、$\vec{r}^{\prime}=(0,a,0)$ に置いた場合について考えよう。

電位は

\[ V(\vec{r}) = \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}|} = \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0\sqrt{x^2+(y-a)^2+z^2}} \]

で与えられる。電界は $\vec{E}=-\nabla V$ であり、正電荷のまわりでは電荷から外側へ向く。ここで重要なのは、$V$ と $\vec E$ が電荷や観測点の絶対座標ではなく、電荷から観測点への相対ベクトル

\[ \vec R=\vec P-\vec r^{\prime} \]

だけで決まることである。

電気力線は、各点で電界 $\vec{E}=-\nabla V$ の向きに接する曲線である。正電荷から出て、負電荷へ入る向きに描くと、電界の向きが直感的に読み取りやすくなる。線が密に見えるところほど電界が強い。ただし、描く本数自体は表現上の選択であり、一本ごとに決まった電荷量が流れているわけではない。

\[ \vec{E}(\vec{r}) = -\nabla V = \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{\vec{r}-\vec{r}^{\prime}}{|\vec{r}-\vec{r}^{\prime}|^3} \]

基準配置を $\vec r_0^{\prime}$、観測点を $\vec P_0$ とする。電荷と観測点を同じ並進ベクトル $a\vec e_y$ だけ動かせば、相対ベクトルは変わらない。

\[ \vec r^{\prime}=\vec r_0^{\prime}+a\vec e_y, \qquad \vec P=\vec P_0+a\vec e_y \quad\Longrightarrow\quad \vec P-\vec r^{\prime}=\vec P_0-\vec r_0^{\prime} \]

したがって $V(\vec P)$、$|\vec E(\vec P)|$、$\vec E$ の方向はすべて不変である。一方、観測点を空間に固定して電荷だけを動かすと $\vec R$ が変わり、電位と電界も変わる。下の図で二つの観測規則を比較しよう。

観察ポイント
操作すると $\vec R$、$V$、$|\vec E|$ を表示します。
灰：基準配置 赤：移動後の $+Q$ 橙：相対ベクトル $\vec R$ 紫：観測点 $P$ と電界 $\vec E(P)$ シアン：移動後の代表8測定点と $\vec E(P_k)$
対話型可視化。内容は直前の本文と数式でも説明しています。

灰色の基準配置と色付きの移動後配置を比較する。シアンの8本と紫の $\vec E(P)$ は、電界が空間の各測定点にあることを示す代表標本である。$Q$ と $P$ を一緒に動かせば $\vec R$ は変わらず、$P$ を固定すれば $\vec R$ が変わる。

可視化 A-3-2

正負で大きさの等しい2つの点電荷を、$x=0,\ z=0$ 上で $y$ 方向に離して、正電荷を $\vec{r}_{+}^{\prime}=(0,d,0)$、負電荷を $\vec{r}_{-}^{\prime}=(0,-d,0)$ においた。

\[ V(\vec{r}) =\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\lvert\vec{r}-\vec{r}_{+}^{\prime}\rvert} -\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\lvert\vec{r}-\vec{r}_{-}^{\prime}\rvert} \]
\[ V(x,y,z) =\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{x^2+(y-d)^2+z^2}} -\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{x^2+(y+d)^2+z^2}} \]

で与えられる。中点 $\vec r=\vec0$ では正負の電位が打ち消し合って $V(\vec0)=0$ になるが、両方の電界は $-y$ 方向を向くため加算される。

\[ V(\vec0)=0, \qquad \vec E(\vec0)=-\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0d^2}\vec e_y \]

ここで、正負の電荷から等距離にある垂直二等分面を考える。この面上の点 $P=(\rho,0,0)$ では、正負の電位は大きさが等しく符号が反対なので、$\rho$ によらず $V(P)=0$ になる。一方、二つの電界の $x$ 成分は打ち消し合い、$y$ 成分はどちらも $+Q$ から $-Q$ へ向くので加算される。

\[ V(P)=0, \qquad \vec E(P)=-\dfrac{2Qd}{4\pi\epsilon_0(d^2+\rho^2)^{3/2}}\vec e_y \]

下の二図は、同じ電荷、同じ垂直二等分面、同じ観測点 $P$ を共有する。左では電位の打消し、右では電界ベクトルの加算を見る。まず「$V=0$ なら $\vec E=\vec0$ か」を確認し、操作後に $P$ を動かして両図が同時に変わることを確かめよう。

\[ V(\vec{r}) = \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0|\vec{r}-\vec{r}_{+}^{\prime}|} - \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0|\vec{r}-\vec{r}_{-}^{\prime}|} \]
\[ \vec{E}(\vec{r}) = -\nabla V = \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left( \dfrac{\vec{r}-\vec{r}_{+}^{\prime}}{|\vec{r}-\vec{r}_{+}^{\prime}|^3} - \dfrac{\vec{r}-\vec{r}_{-}^{\prime}}{|\vec{r}-\vec{r}_{-}^{\prime}|^3} \right) \]
観察ポイント
操作すると $V_+$、$V_-$、$V$、$|\vec E|$ を表示します。
赤：$+Q$ と正電位 青：$-Q$ と負電位 緑：$V=0$ の面 紫：観測点 $P$ と合成電界

電位：正負の値が打ち消す

対話型可視化。内容は直前の本文と数式でも説明しています。
$r_+=r_-$ なら $V_+=-V_-$。値がゼロでも傾きは残る。

電界：二つの $-y$ 成分が加わる

対話型可視化。内容は直前の本文と数式でも説明しています。
$x$ 成分は相殺し、$-y$ 成分は加算する。紫が合成電界。

可視化 A-3-3

同じ符号で大きさの等しい2つの点電荷を、$x=0,\ z=0$ 上で $y$ 方向に離して、$\vec{r}_1^{\prime}=(0,d,0)$ と $\vec{r}_2^{\prime}=(0,-d,0)$ においた。

\[ V(\vec{r}) =\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\lvert\vec{r}-\vec{r}_1^{\prime}\rvert} +\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\lvert\vec{r}-\vec{r}_2^{\prime}\rvert} \]
\[ V(x,y,z) =\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{x^2+(y-d)^2+z^2}} +\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{x^2+(y+d)^2+z^2}} \]

で与えられる。中点では二つの電界が逆向きで打ち消し合う一方、電位は同符号なので加算される。

\[ V(\vec0)=\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0d}, \qquad \vec E(\vec0)=\vec0 \]

垂直二等分面上の点 $P=(\rho,0,0)$ では、二つの電荷までの距離が等しい。したがって電位は常に正のまま加算される。一方、電界の $y$ 成分は相殺し、$x$ 成分は加算されるので、中点 $\rho=0$ だけで合成電界がゼロになる。

\[ V(P)=\dfrac{2Q}{4\pi\epsilon_0\sqrt{d^2+\rho^2}}, \qquad \vec E(P)=\dfrac{2Q\rho}{4\pi\epsilon_0(d^2+\rho^2)^{3/2}}\vec e_x \]

下の二図は、同じ電荷、同じ垂直二等分面、同じ観測点 $P$ を共有する。まず中点での $V$ と $\vec E$ を確認し、操作後に $P$ を中点から外して、正の電位が残ったまま外向き電界が現れることを確かめよう。

\[ V(\vec{r}) = \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0|\vec{r}-\vec{r}_{1}^{\prime}|} + \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0|\vec{r}-\vec{r}_{2}^{\prime}|} \]
\[ \vec{E}(\vec{r}) = -\nabla V = \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left( \dfrac{\vec{r}-\vec{r}_{1}^{\prime}}{|\vec{r}-\vec{r}_{1}^{\prime}|^3} + \dfrac{\vec{r}-\vec{r}_{2}^{\prime}}{|\vec{r}-\vec{r}_{2}^{\prime}|^3} \right) \]
観察ポイント
操作すると $V_1$、$V_2$、$V$、$|\vec E|$ を表示します。
赤：2個の $+Q$ 桃：正の等電位面 緑：等距離の対称面 紫：観測点 $P$ と合成電界

電位：二つの正の値が加わる

対話型可視化。内容は直前の本文と数式でも説明しています。
$r_1=r_2$ なら $V_1=V_2>0$。中点でも電位は消えない。

電界：中点では逆向き成分が打ち消す

対話型可視化。内容は直前の本文と数式でも説明しています。
$y$ 成分は相殺する。中点では $\vec E=\vec0$、外すと紫の外向き電界が現れる。

可視化 A-3-4　Gaussの法則：局所的な電界と全電気力線束

『工科の物理3 電磁気学』1.5節に沿って、まず真空中の電界 $\vec E$ でGaussの法則を読みます。原点の点電荷 $Q$ を中心とする半径 $R$ の球面をGauss面に選ぶと、球対称性から、球面上では $\vec E$ が法線方向を向き、その大きさはどこでも同じです。

\[ \vec E(R)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}\vec e_r, \qquad S_R=4\pi R^2 \]

球を大きくすると $|\vec E|$ は $1/R^2$ で小さくなりますが、面積は $R^2$ で大きくなるため、積分した全電気力線束は変わりません。

\[ \mathit{\Phi}_E =\oint_{S_R}\vec E\cdot\vec n\,dS =\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}\,4\pi R^2 =\dfrac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0} \]

半径と電荷を動かし、面を横切る矢印が短くなっても、数値表示の全電気力線束が $Q/\varepsilon_0$ に一致することを確認してください。この簡単な積への置換は球対称だから使えます。Gaussの積分法則そのものは任意の閉曲面で成立しますが、対称性がなければ $|\vec E|$ を積分の外へ出せません。誘電体を学んだ後は $\vec D=\varepsilon\vec E$ を導入し、自由電荷に対して $\oint_S\vec D\cdot\vec n\,dS=Q_{\mathrm{free}}$ と読み替えます。

対話型可視化。内容は直前の本文と数式でも説明しています。

例題と理解確認

数値例題

$Q=1.0\,\mathrm{nC}$ の正電荷を $(0,d,0)$、同じ大きさの負電荷を $(0,-d,0)$ に置き、$d=0.050\,\mathrm{m}$ とする。中点の電位と電界を求める。

\[ V(\vec0)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0d}-\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0d}=0 \]
\[ \begin{aligned} \vec E(\vec0) &=-\dfrac{2}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{d^2}\vec e_y,\\ &=-7.19\times10^3\vec e_y\ \mathrm{V/m} \end{aligned} \]

電位はゼロでも、その周囲で電位が変化しているため電界はゼロにならない。

よくある誤解

確認問題

  1. 点電荷を原点から $\vec r^{\prime}$ へ移したとき、分母の距離をどのように書くか。
  2. 正負2電荷と同符号2電荷の中点では、電位と電界のどちらがゼロになるかをそれぞれ答えよ。
  3. 点電荷を囲む球形Gauss面の半径を2倍にすると、面上の $|\vec E|$ と全電気力線束はそれぞれ何倍になるか。
問1のヒントを見る

ヒント: 観測点から電荷位置までの相対ベクトルを作る。

解答: 距離は $|\vec r-\vec r^{\prime}|$ と書く。

問2のヒントを見る

ヒント: 電位は符号付きのスカラー和、電界は方向を持つベクトル和である。

解答: 正負2電荷では $V=0$ だが $\vec E\ne\vec0$、同符号2電荷では $V\ne0$ だが $\vec E=\vec0$ となる。

問3のヒントを見る

ヒント: $|\vec E|\propto1/R^2$ と球面積 $S_R\propto R^2$ を別々に評価する。

解答: $|\vec E|$ は $1/4$ 倍、全電気力線束 $\mathit{\Phi}_E=\oint_S\vec E\cdot\vec n\,dS=Q/\varepsilon_0$ は1倍のままである。

今回のまとめ