3Dで学ぶ電磁気学
A-6 誘電体と境界条件
この回で身につける
到達目標
- $\vec D=\varepsilon_0\vec E+\vec P$ を自由電荷と分極の役割に分けて読める。
- 誘電体界面で連続する法線電束密度と接線電界を使える。
- 直列誘電体で電界・電圧分担・静電容量を求められる。
前提知識
- Gaussの法則
- 電位差 $\Delta V=-\int\vec E\cdot d\vec\ell$
- 平行平板コンデンサ
学習の順序
- 自由電荷が決める $\vec D$ を求める。
- 材料則から各誘電体の $\vec E$ を求める。
- 電圧分担と分極電荷を確認する。
電磁気学の理解実験
誘電率が大きい材料ほど、電界も大きくなるのか
観察ポイント: 二つの誘電体を電界方向に直列配置し、自由表面電荷が同じときの $D_n$ と $E_n$ を確かめる。
操作: 誘電率比と界面位置を動かし、電束密度矢印、電界矢印、分極矢印、電圧分担を同時に見る。
観察した後に、境界条件で説明する
界面に自由表面電荷がなければ $D_{1n}=D_{2n}$ である。したがって $E_{in}=D_n/\varepsilon_i$ となり、誘電率が大きい側ほど電界は小さい。
別問題へ: 電界が界面へ斜めに入る場合は、法線 $D_n$ と接線 $E_t$ を別々に連続させる。
線形・等方性誘電体では
と書きます。二材料の界面に自由表面電荷 $\rho_{s,\mathrm f}$ があるとき、微小な柱と長方形経路から
が得られます。界面へ垂直に電界が通り、自由表面電荷がなければ $D_{1n}=D_{2n}=D_n$ です。厚さを $d_1,d_2$、全電圧を $V_0$ とすると
です。面積 $S$ の電極なら
となり、二つの平行平板コンデンサの直列接続と同じ形です。
可視化 A-6-1 二誘電体の電束・電界・分極
$\varepsilon_2/\varepsilon_1$ を増やしたとき、$D_n$、$E_1$、$E_2$、$V_2$ の増減を確かめる。
誘電率比、界面位置、電圧を動かし、同じ $\vec D$ と異なる $\vec E$ を3Dで比較する。
自由電荷のGauss則、材料則、電位差の線積分をこの順で使う。
例題と理解確認
数値例題
$d_1=d_2=1.0\,\mathrm{mm}$、$\varepsilon_1=2\varepsilon_0$、$\varepsilon_2=6\varepsilon_0$、$V_0=12\,\mathrm V$ とする。
$E_1=9.0\,\mathrm{kV/m}$、$E_2=3.0\,\mathrm{kV/m}$ で、電圧分担は $V_1:V_2=3:1$ です。
よくある誤解
- 誘電率が大きい材料ほど、同じ自由電荷に対する電界は小さい。
- 界面で常に $\vec E$ 全体が連続するわけではない。接線成分は連続するが、法線成分は材料則により変わり得る。
- 分極電荷と電極から与えた自由電荷を同じものとして数えない。
確認問題
- 自由界面電荷がないとき、界面で連続する法線成分は $E_n$ と $D_n$ のどちらか。
- $\varepsilon_2$ を2倍にしたとき、同じ $D_n$ に対する $E_2$ はどうなるか。
- 二誘電体の静電容量を直列接続の式から導け。
問1のヒントを見る
ヒント: 自由電荷に対するGaussの法則を使う。
解答: $D_n$ が連続する。
問2のヒントを見る
ヒント: $E_2=D_n/\varepsilon_2$。
解答: 半分になる。
問3のヒントを見る
ヒント: $C_i=\varepsilon_iS/d_i$ と $1/C=1/C_1+1/C_2$ を使う。
解答: $C=S/(d_1/\varepsilon_1+d_2/\varepsilon_2)$ となる。
今回のまとめ
- $\vec D$ は自由電荷を、$\vec P$ は材料の分極を整理する。
- 界面では法線 $D_n$ と接線 $E_t$ の境界条件を分けて使う。
- 直列誘電体では低誘電率側へ電界と電圧が集中する。