3Dで学ぶ電磁気学

D-2 表皮効果・交流抵抗・SIBC

この回で身につける

到達目標

表皮効果を磁気拡散として説明できる。
電流密度の偏りから交流抵抗を求められる。
SIBCが導体内部を何へ置き換えるか説明できる。

前提知識

Ampereの法則
Faradayの法則
局所オーム則
複素振幅

見る順序

丸線の半径と周波数を動かす。
損失積分から交流抵抗を読む。
体積導体をSIBCへ置き換える。

電磁気学の理解実験

周波数を上げると、なぜ同じ銅線の抵抗が増えるのか

観察ポイント: 周波数を100倍にしたとき、電流が流れる断面、中心の電流密度、交流抵抗がどう変わるかを確かめる。

操作: 材料、周波数、線半径、位相を動かし、長い丸線の内部に分布する電流密度ベクトル、可動断面、半径方向グラフを同じ状態で見る。

観察後に式で確認する

周波数を100倍にすると表皮深さは $1/10$ になります。電流が表面近くの狭い領域へ移ると、同じ全電流を流すために局所的な $|\vec J|$ が増え、Joule損失と交流抵抗が増えます。

表皮効果は磁気拡散である

変位電流を無視できる良導体で、時間依存を $e^{j\omega t}$ とします。Ampereの法則、Faradayの法則、局所オーム則を組み合わせると、

\nabla\times\underline{\vec H}=\underline{\vec J}=\sigma\underline{\vec E}, \qquad \nabla\times\underline{\vec E}=-j\omega\mu\underline{\vec H}

から、導体内の場は拡散方程式

\nabla^2\underline{\vec H}=j\omega\mu\sigma\underline{\vec H}, \qquad \delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu\sigma}}

に従います。表皮深さ $\delta$ は振幅が表面値の $1/e$ になる深さです。電流が互いに押し合って表面へ逃げるのではなく、時間変化する磁界が誘導電界を作り、導体内部の電流分布を変える現象です。

丸線ではBessel関数になる

半径 $a$ の十分長い丸線へ軸方向電流を流します。軸対称な電流密度 $\underline J_z(r)$ は、

\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr}\!\left(r\dfrac{d\underline J_z}{dr}\right) -j\omega\mu\sigma\underline J_z=0, \qquad \left.\dfrac{d\underline J_z}{dr}\right|_{r=0}=0

を満たし、表面値を $\underline J_s=\underline J_z(a)$ とすれば、

\underline J_z(r)=\underline J_s \dfrac{I_0(\gamma r)}{I_0(\gamma a)}, \qquad \gamma=\sqrt{j\omega\mu\sigma}=\dfrac{1+j}{\delta}

です。$I_0$ は第1種変形Bessel関数です。可視化はBessel関数の形だけを描くのではなく、この半径方向境界値問題を複素有限差分で解き直します。極端に $a/\delta$ が大きい領域では、数値丸めを避けるため同じ解の高周波漸近形へ切り替えます。そのため、低周波の一様分布から高周波の表面集中まで連続して追えます。

ここで扱うのは<strong>十分長い丸線の中央部</strong>です。3D図の両端は電流が出入りする端子ではなく、無限に続く丸線から切り出した観察窓です。固定した183個の観測点で $\vec J(\vec r,t)$ を示すので、ベクトルが一つのベクトルの関数、すなわち位置 $\vec r$ ごとに異なることを空間分布として追えます。周波数を変えても観測点を増減させず、矢印長だけを共通尺度で変えます。

可視化 D-2-1 丸線の電流密度と交流抵抗

導体周波数 $f$ 線半径 $a$ [mm] 位相 $\omega t$ 可動断面 $z_s$ 観測点の半径 $r_P/a$ 時間を動かす

斜め視点。ドラッグでも自由に回転できます。

赤／青：$\vec J(\vec r,t)$ の正／負　紫：同じ3D空間内を動く断面　青緑：周回磁界 $\vec H_\phi$　橙：観測点 $P$

次のグラフは別の断面図ではありません。上の3D空間に埋め込まれた紫の断面と同じ状態から、半径方向の複素振幅 $|\underline J_z(r)|$ と観測点 $P$ を読み出したものです。

電流密度から交流抵抗を求める

丸線を流れる全電流と単位長さ当たりの時間平均Joule損失は、

\underline I=2\pi\int_0^a\underline J_z(r)r\,dr, \qquad P'=\dfrac{1}{2\sigma}2\pi\int_0^a|\underline J_z(r)|^2r\,dr

です。したがって、ピーク値の複素振幅を用いると、

R'_{\mathrm{ac}}=\dfrac{2P'}{|\underline I|^2}, \qquad R'_{\mathrm{dc}}=\dfrac{1}{\sigma\pi a^2}

となります。Canvasの $R_{\mathrm{ac}}/R_{\mathrm{dc}}$ は表示した電流密度を数値積分して求めています。$\delta\ll a$ の極限だけなら、電流が流れる有効断面積を $2\pi a\delta$ と近似して、

\dfrac{R'_{\mathrm{ac}}}{R'_{\mathrm{dc}}} \simeq\dfrac{a}{2\delta} \qquad(\delta\ll a)

と見積もれます。ただし低周波ではこの漸近式を使わず、$R'_{\mathrm{ac}}/R'_{\mathrm{dc}}\to1$ としなければなりません。

SIBCは導体内部を表面の関係式へ畳み込む

良導体の内部を細かくメッシュ分割する代わりに、導体表面だけで接線電界と接線磁界を結ぶのが表面インピーダンス境界条件（Surface Impedance Boundary Condition; SIBC）です。導体から外部へ向く単位法線を $\vec n$ とすると、ここで用いる符号規約では、

\underline{\vec E}_t =Z_s\left(\vec n\times\underline{\vec H}_t\right), \qquad Z_s=(1+j)R_s, \qquad R_s=\sqrt{\dfrac{\omega\mu}{2\sigma}}=\dfrac{1}{\sigma\delta}

です。表面から導体へ入る時間平均電力密度は、

\left\langle S_{\mathrm{in}}\right\rangle =\dfrac12\Re\!\left\{ \underline{\vec E}_t\times\underline{\vec H}_t^{\,*} \right\}\cdot(-\vec n) =\dfrac12R_s|\underline{\vec H}_t|^2

となります。つまりSIBCは、導体内部の指数減衰、位相遅れ、Joule損失を、表面上の複素係数 $Z_s$ へまとめたモデルです。

局所平板近似を使うには、導体厚さ $t$ と表面の曲率半径 $R_c$ が表皮深さより十分大きいことが必要です。

\dfrac{\delta}{t}\ll1, \qquad \dfrac{\delta}{R_c}\ll1

片側から浸透する指数分布を厚さ $t$ で打ち切ったとき、そこまでに含まれる損失の割合は

\eta_t= \dfrac{\displaystyle\int_0^t e^{-2x/\delta}\,dx} {\displaystyle\int_0^\infty e^{-2x/\delta}\,dx} =1-e^{-2t/\delta}

です。これは有限厚導体の厳密解ではなく、SIBCを使える厚さかを読むための片側浸透モデルです。$t/\delta$ が小さい場合や、両面から場が入る薄板、角部、強い近接効果では体積導体を解く必要があります。

可視化 D-2-2 体積導体とSIBCの使い分け

導体周波数 $f$ 導体厚さ $t$ [mm] 表面磁界 $H_t$ [A/m]

例題と理解確認

数値例題

半径 $a=2\,\mathrm{mm}$ の銅線を $f=10\,\mathrm{kHz}$ で使う。$\sigma=5.8\times10^7\,\mathrm{S/m}$、$\mu=\mu_0$ とする。

\delta\simeq0.66\,\mathrm{mm}, \qquad \dfrac{a}{\delta}\simeq3.0

中心の電流密度はすでに表面より小さく、直流抵抗だけで損失を見積もると過小評価になります。

よくある誤解

表皮深さより内側の電流が突然0になるわけではありません。
表皮効果だけでは、隣接導体が作る磁界による近接効果を表せません。
磁性導体の $\mu$ は実際には周波数・磁界強度・損失に依存します。Canvasの磁性導体は線形例示値です。

確認問題

周波数を4倍にすると $\delta$ は何倍になるか。
線半径を2倍にし、ほかを一定にすると $a/\delta$ はどうなるか。
同じ全電流でも $R_{\mathrm{ac}}$ が増える理由を、$\vec J$ とJoule損失の積分から説明せよ。
$t/\delta$ が小さい薄板へ半無限導体のSIBCをそのまま使えない理由を説明せよ。

ヒントを見る

ヒント: $\delta\propto f^{-1/2}$、$P'\propto\int|\vec J|^2dS$、$\eta_t=1-e^{-2t/\delta}$ を使います。

解答: 1. $1/2$です。2. $a/\delta$ は2倍です。3. 電流が狭い表面層へ集中すると、同じ断面積分 $I$ を保つため局所的な $|\vec J|$ が増え、二乗積分で決まる損失が増えるためです。4. 裏面へ到達する場と両面の相互作用を無視できず、局所的な半無限導体の指数解へ畳み込めないためです。

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