3Dで学ぶ電磁気学

D-3 変圧器・インダクタンス・磁気エネルギー

『工科の物理3 電磁気学』第7章2〜5節に対応

到達目標

巻数比と誘導電圧比を磁束鎖交数から説明できる。
形状と材料からインダクタンスを見積もれる。
磁気エネルギーとギャップ吸引力を結び付けられる。

動かす量

一次・二次巻数と周波数
ソレノイドの長さ・半径・透磁率
磁気回路のギャップと電流

見る順序

磁束から二つの電圧を作る。
磁束鎖交数から $L$ を作る。
エネルギー勾配を力へ変える。

電磁気学の理解実験

同じ磁束を共有する二つのコイルで、何が巻数に比例するか

確認: 二次巻数を2倍にしたとき、二次電圧、磁束、周波数がそれぞれどう変わるか確かめます。

操作: 変圧器、ソレノイド、ギャップ付磁気回路の順に、磁束・鎖交数・エネルギー・力を追います。

観察後に式で確認する

誘導電圧は磁束そのものではなく磁束鎖交数 $N\mathit{\Phi}$ の時間変化です。力はエネルギーの値だけでなく、形状を変えたときの勾配から決まります。

変圧器は同じ磁束の時間変化を二つの巻線で読む

漏れ磁束と巻線抵抗を無視した理想変圧器では、一次・二次巻線が同じ鉄心磁束 $\mathit{\Phi}(t)$ を共有します。

e_1(t)=-N_1\dfrac{d\mathit{\Phi}}{dt}, \qquad e_2(t)=-N_2\dfrac{d\mathit{\Phi}}{dt}, \qquad \dfrac{e_2}{e_1}=\dfrac{N_2}{N_1}

正弦磁束 $\mathit{\Phi}=\mathit{\Phi}_0\sin\omega t$ なら、実効値は

E_1=\dfrac{\omega N_1\mathit{\Phi}_0}{\sqrt2}, \qquad E_2=\dfrac{\omega N_2\mathit{\Phi}_0}{\sqrt2}

です。Canvasでは鉄心内の磁束、巻線の向き、二つの電圧波形を同じ位相カーソルで示します。

可視化 D-3-1 巻数比と誘導電圧

一次巻数 $N_1$ 二次巻数 $N_2$ 周波数 $f$ [Hz] 磁束振幅 $\mathit{\Phi}_0$ [mWb] 位相 $\omega t$

インダクタンスは磁束鎖交数と電流の比

線形磁気回路では、磁束鎖交数 $\lambda=N\mathit{\Phi}$ と電流 $I$ の比をインダクタンスと定義します。

\lambda=LI, \qquad L=\dfrac{N\mathit{\Phi}}{I}

長さ $\ell$、断面積 $S$、巻数 $N$ の十分長いソレノイドでは、端部効果を無視すると

B\simeq\mu\dfrac{N}{\ell}I, \qquad L\simeq\mu\dfrac{N^2S}{\ell}, \qquad W_m=\dfrac12LI^2

です。巻数は磁界を強めるだけでなく、鎖交数にももう一度掛かるため $L\propto N^2$ となります。

可視化 D-3-2 ソレノイドの形状とインダクタンス

巻数 $N$ 長さ $\ell$ [cm] 半径 $a$ [cm] 比透磁率 $\mu_r$ 電流 $I$ [A]

ギャップに蓄えたエネルギーの勾配が吸引力になる

断面積 $S$、鉄心長 $\ell_c$、ギャップ $g$ の線形磁気回路では、磁気抵抗とインダクタンスを

\mathcal R_m=\dfrac{\ell_c}{\mu_0\mu_rS}+\dfrac{g}{\mu_0S}, \qquad \mathit{\Phi}=\dfrac{NI}{\mathcal R_m}, \qquad L=\dfrac{N^2}{\mathcal R_m}

と近似できます。電流一定でギャップを変えるとき、吸引力の大きさは磁気共エネルギー $W'_m=L I^2/2$ の形状微分から

|F_g|=-\left.\dfrac{\partial W'_m}{\partial g}\right|_I =\dfrac{B_g^2S}{2\mu_0}

となります。3D可視化は漏れ磁束とフリンジングを無視する<strong>一様空隙・線形磁気回路の一次近似</strong>です。空隙の矢印を有限要素解析結果のように見せるのではなく、この近似で仮定した一様な $\vec B_g$ を、空隙体積内の固定45点に表示します。ギャップを狭くすると磁束、インダクタンス、吸引力が同時に増え、空隙の体積は小さくなることを同じ空間で確認します。

同じ磁束密度 $B$ でも磁気エネルギー密度は

w_m=\dfrac{B^2}{2\mu}

なので、透磁率の大きい鉄心より空隙に集中します。可視化の橙色体積は温度ではなく、磁気エネルギーを蓄える領域です。一筆書きのコイル、閉じた磁束経路、空隙中のベクトル場、上下の極に働く力を一つの3Dモデルで追います。

可視化 D-3-3 ギャップ・磁気エネルギー・吸引力

ギャップ $g$ [mm] 電流 $I$ [A] 巻数 $N$ 鉄心の比透磁率 $\mu_r$ 観測点の奥行き $z_P/d$

磁気回路全体を斜めから見る視点

緑：閉じた磁束経路　青：空隙の $\vec B_g(\vec r)$　橙：磁気エネルギーを蓄える空隙体積　赤：上下の極に働く $\vec F_g$　紫：観測点 $P$

次の曲線は断面図ではなく、上の3Dモデルと同じ $N,I,\mu_r$ を保ったまま $g$ だけを掃引した従属グラフです。$B_g$、$|F_g|$、$W'_m$ は単位が異なるため、それぞれの最大値で正規化し、減り方の違いだけを比較します。

例題と理解確認

$N_1=200$、$N_2=50$ の理想変圧器で一次電圧が $100\,\mathrm{V}$ なら、

\dfrac{E_2}{E_1}=\dfrac{50}{200}=0.25, \qquad E_2=25\,\mathrm{V}

です。これは負荷電流や巻線損失を無視した電圧比です。

よくある誤解

変圧器の磁束が巻数比で増減するのではなく、共有磁束を読む鎖交数が巻数で変わります。
$L\propto N$ ではなく、長いソレノイド近似では $L\propto N^2$ です。
力は磁気エネルギーの値だけからは決まらず、変位に対する勾配と、何を一定にするかが必要です。

確認問題

巻数を2倍にし、他を固定するとソレノイドの $L$ と $W_m$ は何倍か。
理想変圧器で周波数を2倍にし磁束振幅を半分にすると誘導電圧はどうなるか。
ギャップが鉄心より磁気エネルギー密度を持ちやすい理由を説明せよ。

ヒントを見る

$L\propto N^2$、$E\propto f\mathit{\Phi}_0$、$w_m=B^2/(2\mu)$ を使います。

解答を見る

1. $L$ と同じ電流での $W_m$ は4倍です。2. $E\propto f\mathit{\Phi}_0$ なので変わりません。3. 同じ $B$ に対して $w_m=B^2/(2\mu)$ であり、透磁率の小さい空隙のエネルギー密度が大きくなるためです。

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