学部で学ぶ電磁気学　第8章

8.3　電磁波に対する波動方程式

この節では、電磁波に対する波動方程式を、対応する式と操作できる3D教材を行き来しながら確かめます。

電磁波に対する波動方程式の3D教材を見る

3Dで学ぶ電磁気学

第8章教材　電磁波に対する波動方程式・ポインティングの定理

学部で学ぶ電磁気学第8章3・6節に対応

到達目標

Maxwell方程式から波動方程式を導ける。
媒質定数と波の速さを結び付けられる。
Poyntingの定理で場のエネルギー収支を読める。

動かす量

媒質の $\varepsilon_r$ と $\mu_r$
波束の時刻と幅
検査体積を出入りするエネルギー流

見る順序

8.2の二つのcurl方程式から波動方程式を作る。
$\vec E$ と $\vec H$ がともに進む様子を見る。
エネルギーが検査体積へ出入りする量を測る。

電磁気学の理解実験

源から離れた場所で、電界と磁界はなぜ空間を伝わり続けるのか

操作: 媒質と時刻を動かし、固定した空間点で $\vec E$、$\vec H$、$\vec S$ と検査体積内のエネルギーを同時に追います。

確認: 8.2でそろえたFaradayとAmpere-Maxwellの二つのcurl方程式が、互いの時間変化を通して波動方程式になることを確かめます。

動かした後に式で確認する

電荷・電流のない一様媒質では、二つのcurl方程式へさらにcurlを作用させると、速さ $1/\sqrt{\mu\varepsilon}$ の波動方程式が得られます。

マックスウェルの方程式から電磁波が現れる

8.2 Maxwell方程式でそろえた四式のうち、電荷・電流のない一様媒質ではFaradayの法則とAmpere-Maxwellの法則が

\nabla\times\vec E=-\mu\dfrac{\partial\vec H}{\partial t}, \qquad \nabla\times\vec H=\varepsilon\dfrac{\partial\vec E}{\partial t}

となります。さらに $\nabla\cdot\vec E=0$ を使うと

\nabla^2\vec E-\mu\varepsilon\dfrac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}=\vec0, \qquad \nabla^2\vec H-\mu\varepsilon\dfrac{\partial^2\vec H}{\partial t^2}=\vec0, \qquad v=\dfrac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}

が得られます。時間変化する $\vec E$ が回転する $\vec H$ を、時間変化する $\vec H$ が回転する $\vec E$ を作り、源から離れても伝搬します。

可視化 8.6　ポインティングの定理は場のエネルギー収支

電磁エネルギー密度とPoyntingベクトルを

u=\dfrac12\varepsilon|\vec E|^2+\dfrac12\mu|\vec H|^2, \qquad \vec S=\vec E\times\vec H

とすると、局所エネルギー収支は

\dfrac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\vec S=-\vec J\cdot\vec E

です。右辺は場から物質へ渡る電力密度です。損失のない平面波では $u_E=u_H$、$|\vec S|=vu$ となります。

正弦平面波とポインティング流

赤の $\vec E$、青の $\vec H$、緑の $\vec S$ を同じ空間に重ねます。伝搬方向を反転するときは $\vec H$ も反転するため、$\vec E\times\vec H$ は常に選んだ伝搬方向を向きます。紫の観測面 $P$ では、エネルギー密度の時間変化とPoynting流の空間変化を数値で照合します。

\vec E=\vec e_y E_0\cos(skx-\omega t), \qquad \vec H=\vec e_z\dfrac{sE_0}{Z}\cos(skx-\omega t), \qquad s=\pm1

v=\dfrac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}, \qquad Z=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}, \qquad \dfrac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\vec S=0

電界振幅 $E_0$ [V/m] 比誘電率 $\varepsilon_r$ 比透磁率 $\mu_r$ 周波数 $f$ [MHz] 時刻位相 $\omega t$ 伝搬方向観測位置 $x_P$ [m] 視点

赤：電界 $\vec E$ 青：磁界 $\vec H$ 緑：Poyntingベクトル $\vec S$ 紫：局所収支を測る面 $P$

補助可視化 8.3・8.6　波束と検査体積のエネルギー収支

比誘電率 $\varepsilon_r$ 比透磁率 $\mu_r$ 時刻 $t/T$ 波束幅

例題と理解確認

比誘電率 $\varepsilon_r=9$、比透磁率 $\mu_r=1$ の損失のない媒質では、波の速さは

\dfrac{v}{c}=\dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}}=\dfrac13

です。同じ周波数なら波長も真空中の $1/3$ になります。

よくある誤解

電磁波は電界だけ、または磁界だけが単独で進むものではありません。
媒質中の波の速さは振幅ではなく、$\mu$ と $\varepsilon$ で決まります。
Poyntingベクトルは電界の向きではなく、$\vec E\times\vec H$ が示すエネルギー流です。

確認問題

FaradayとAmpere-Maxwellの法則から $\vec E$ の波動方程式を導け。
$\varepsilon_r=9$、$\mu_r=1$ の媒質で波の速さは真空の何倍か。
損失のない平面波で電気エネルギー密度と磁気エネルギー密度が等しいことを示せ。

問1のヒントを見る

ヒント: $\nabla\times(\nabla\times\vec E)=\nabla(\nabla\cdot\vec E)-\nabla^2\vec E$ と、電荷・電流のない一様媒質の二つのcurl方程式を使います。

解答: Faradayの法則のcurlを取り、Ampere-Maxwellの法則と $\nabla\cdot\vec E=0$ を代入すると、$\nabla^2\vec E-\mu\varepsilon\,\partial^2\vec E/\partial t^2=\vec0$ が得られます。

問2のヒントを見る

ヒント: $v/c=1/\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}$ です。

解答: $v/c=1/\sqrt{9}=1/3$ です。

問3のヒントを見る

ヒント: 平面波の $H=E/Z$ と $Z^2=\mu/\varepsilon$ を使います。

解答: $\mu H^2/2=\mu E^2/(2Z^2)=\varepsilon E^2/2$ となるので、電気エネルギー密度と磁気エネルギー密度は等しくなります。

今回のまとめ

電荷・電流のない一様媒質では二つのcurl方程式が互いを結び、速さ $v=1/\sqrt{\mu\varepsilon}$ の電磁波を作る。
電磁エネルギー密度は電界と磁界の寄与の和で、Poyntingベクトル $\vec S=\vec E\times\vec H$ がエネルギー流を表す。
Poyntingの定理は、検査体積内のエネルギー変化・境界を通る流出入・物質へ渡る電力を一つの収支として結ぶ。

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8.3 電磁波に対する波動方程式