CAE-AI Lab 近畿大学 English

3Dで学ぶ電磁気学

A-8 映像法と境界値問題

この回で身につける

到達目標

  • 境界条件を満たす仮想電荷を用いて物理領域の電位を求められる。
  • 平面、直交二平面、接地球、孤立中性球で映像電荷の構成が変わる理由を説明できる。
  • 誘導表面電荷と実電荷に働く力を計算し、映像法を境界上の等価源へ一般化できる。

前提知識

  • 重ね合わせ
  • 導体表面の等電位条件
  • Laplace方程式の解の一意性

学習の順序

  1. 一枚の接地平面で一つの映像電荷を作る。
  2. 二平面では反射を繰り返し、球面では反転位置を用いる。
  3. 接地球と孤立中性球を比較した後、境界測定からの場再構成へ進む。

電磁気学の理解実験

映像電荷は、導体の中に本当に存在するのか

観察ポイント: 接地平面の反対側へ置く $-Q$ が、どの領域の電位を正しくし、どの領域では物理的意味を持たないかを考える。

操作: 実電荷と境界の距離を変え、平面・直交二平面・接地球で $V=0$ が保たれる様子を見る。続いて孤立中性球では、中心電荷を加えて誘導電荷の総量を0にする。

観察した後に、一意性と等価源で説明する

映像電荷は $z>0$ のLaplace/Poisson問題と境界条件を満たす解を作る数学的な源であり、導体内の実在電荷ではない。一意性定理により物理領域の解は正しい。

別問題へ: 単一の鏡像で置き換えられない境界では、連続的な等価表面源や数値的な境界値再構成を用いる。

接地された無限導体平面 $z=0$ の上方 $(0,0,h)$ に点電荷 $+Q$ を置きます。物理領域 $z>0$ について、$(0,0,-h)$ の映像電荷 $-Q$ を加えた電位

\[ V(x,y,z)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z-h)^2}} -\dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2+(z+h)^2}} \right], \qquad z>0 \]

は、導体面全体で $V(x,y,0)=0$ を満たします。中心軸から距離 $\rho$ の位置に誘導される表面電荷密度と実電荷に働く力は

\[ \rho_s(\rho) =-\varepsilon_0\left.\dfrac{\partial V}{\partial z}\right|_{z=0^+} =-\dfrac{Qh}{2\pi(\rho^2+h^2)^{3/2}}, \qquad \vec F=-\dfrac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0h^2}\vec e_z \]

です。力の計算で用いる実電荷と映像電荷の距離は $2h$ です。

可視化 A-8-1 接地平面と映像電荷

着眼点

$h$ を半分にしたとき、中心直下の $|\rho_s|$ と吸引力 $|\vec F|$ の倍率を確かめる。

操作

$Q$、$h$、表面評価半径 $\rho$ を変え、電気力線と誘導電荷の集中を3Dで見る。

説明

境界で $V=0$ を確認し、法線微分から $\rho_s$、Coulomb力から $\vec F$ を求める。

対話型可視化。内容は直前の本文と数式でも説明しています。

可視化 A-8-2 直交する二つの接地平面

領域 $x>0, y>0$ に実電荷 $Q$ を $\vec r_{++}=(a,b,0)$ へ置きます。境界 $x=0$ と $y=0$ を同時に接地するには、一度の反射だけでは足りません。三つの映像電荷を

\[ (-Q,\vec r_{-+}),\quad(-Q,\vec r_{+-}),\quad(+Q,\vec r_{--}), \qquad \vec r_{\pm\pm}=(\pm a,\pm b,0) \]

と置くと、物理領域の電位は

\[ V(\vec r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \dfrac{1}{|\vec r-\vec r_{++}|} -\dfrac{1}{|\vec r-\vec r_{-+}|} -\dfrac{1}{|\vec r-\vec r_{+-}|} +\dfrac{1}{|\vec r-\vec r_{--}|} \right) \]

となり、$V(0,y,z)=V(x,0,z)=0$ を満たします。二度反射された映像電荷の符号が再び正になる点が重要です。

着眼点

$a=b$ のとき、実電荷に働く力はどの方向を向くか。二つの負の映像だけで境界条件を満たせるか。

操作

$a$ と $b$ を独立に変え、三つの映像電荷、二枚の接地面、電気力線、合力を回転して観察する。

説明

各境界上で等距離になる電荷対を探し、正負の寄与が打ち消し合うことを示す。

対話型可視化。内容は直前の本文と数式でも説明しています。

可視化 A-8-3 接地導体球と反転位置

半径 $A$ の接地導体球の中心から距離 $d>A$ の位置へ $Q$ を置きます。球内の同一直線上に

\[ Q'=-\dfrac{A}{d}Q, \qquad d'=\dfrac{A^2}{d} \]

の映像電荷を置くと、球面上の任意の点で実電荷と映像電荷までの距離比が $d/A$ となり、

\[ V(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \dfrac{Q}{|\vec r-d\vec e_x|} +\dfrac{Q'}{|\vec r-d'\vec e_x|} \right), \qquad V(|\vec r|=A)=0 \]

を満たします。実電荷に働く力は、映像電荷とのCoulomb力

\[ \vec F=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \dfrac{QQ'}{(d-d')^2}\vec e_x \]

であり、$Q'<0$ なので球へ向かいます。

着眼点

実電荷を球へ近づけると、映像電荷の位置、大きさ、吸引力はどう変わるか。

操作

球半径 $A$ と距離比 $d/A$ を変え、反転位置 $d'=A^2/d$、球面電位、電気力線の終点を見る。

説明

球面上の距離比を用いて二つの電位項が相殺することを示す。

対話型可視化。内容は直前の本文と数式でも説明しています。

可視化 A-8-4 孤立した中性導体球

同じ球を接地せず、全電荷を0に保つ場合を考えます。A-8-3の映像電荷 $Q'$ に加えて、球中心へ

\[ Q_0=-Q'=\dfrac{A}{d}Q \]

を置きます。これにより $Q'+Q_0=0$ となり、誘導表面電荷の総量が0になります。球面は接地されていないため電位0ではなく、一定値

\[ V(|\vec r|=A)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q_0}{A} =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{d} \]

になります。実電荷に働く力には二つの映像電荷の寄与が入り、

\[ \vec F=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \dfrac{Q'}{(d-d')^2}+\dfrac{Q_0}{d^2} \right]\vec e_x \]

です。中心電荷の反発を加えても、全体として導体球へ引かれます。

着眼点

接地を外しても球面は等電位か。誘導電荷の総量と実電荷に働く力はどう変わるか。

操作

A-8-3と同じ $A$、$d/A$ を試し、中心映像電荷、正負の誘導電荷、球面電位を比較する。

説明

中心電荷は球面上へ一定電位だけを加えるため、等電位条件を壊さず総誘導電荷を0にできる。

対話型可視化。内容は直前の本文と数式でも説明しています。

発展可視化: 奇・偶鏡像の平均からSDI境界へ

この発展教材では、論文中盤にあるGeneralized Electrical Image Methodの土台を動かして確かめます。境界を $S:y=0$、実電流を置く側を $y>0$ とし、$y<0$ に作る鏡像電流の場を $\vec H_{\mathrm i}$ とします。奇鏡像を使うDirichlet解と、偶鏡像を使うNeumann解は

\[ \vec H_{\mathrm D}=\vec H_{\mathrm s}-\vec H_{\mathrm i}, \qquad \vec H_{\mathrm N}=\vec H_{\mathrm s}+\vec H_{\mathrm i} \]

です。したがって、二つの解を半分ずつ足すと鏡像だけが消え、実電流が作る開領域解へ戻ります。

\[ \dfrac{\vec H_{\mathrm D}+\vec H_{\mathrm N}}{2} =\vec H_{\mathrm s}, \qquad \vec H_{\alpha}=(1-\alpha)\vec H_{\mathrm D}+\alpha\vec H_{\mathrm N} =\vec H_{\mathrm s}+(2\alpha-1)\vec H_{\mathrm i} \]

平面境界では、磁気ベクトルポテンシャルを $\vec A=A_z\vec e_z$ とすると、奇鏡像は $A_z=0$、偶鏡像は $\partial A_z/\partial n=0$ を作ります。これらはそれぞれ

\[ \left.\vec n\cdot\vec B_{\mathrm D}\right|_S=0, \qquad \left.\vec n\times\vec H_{\mathrm N}\right|_S=\vec 0 \]

に対応します。Canvasの $\alpha$ を $0\rightarrow 1/2\rightarrow 1$ と動かし、法線成分が消える状態、鏡像が消える状態、接線成分が消える状態を順に比べてください。

さらに、境界の外向き法線を再構成側へ向けて $\vec n=-\vec e_y$ とします。一般の等価原理では等価表面電流と等価表面磁荷を併用しますが、SDI境界では係数2を付けた片方だけで同じ外部場を再構成できます。

\[ \vec J_s^{\mathrm{SDI}}=2\vec n\times\vec H, \qquad \rho_m^{\mathrm{SDI}}=2\vec n\cdot\vec B \]
\[ \vec H(\vec r)= \int_S \nabla G(\vec r,\vec r')\times\vec J_s^{\mathrm{SDI}}(\vec r')\,dS' =-\dfrac{1}{\mu_0}\int_S \rho_m^{\mathrm{SDI}}(\vec r')\nabla G(\vec r,\vec r')\,dS' \]

ここで $G$ はGreen関数です。Canvasは $z$ 方向に一様な線電流問題を扱うため、$G_{\mathrm{2D}}=-(1/2\pi)\log|\vec r-\vec r'|$ を数値積分します。表面電流表示と表面磁荷表示を切り替え、境界分割数 $N_S$ を増やしたときに評価点 $P$ の再構成誤差が下がることを確認できます。

対話型可視化。内容は直前の本文と数式でも説明しています。

「奇・偶鏡像の平均」では $\alpha=0,1/2,1$ を比較してください。「等価表面電流」と「等価表面磁荷」では、灰色の厳密場と水色の再構成場、評価点 $P$ の二つの $\vec H$ を比較します。この発展教材は、菅原賢悟「Generalized Electrical Image Method for Field Reconstruction」のSection II「Basic Principles」とSection III「Proposed Method」を、論文図の転載ではなく独自の操作教材として再構成しています。

例題と理解確認

数値例題

$Q=5.0\,\mathrm{nC}$、$h=3.0\,\mathrm{cm}$ のとき、点電荷に働く吸引力を求める。

\[ F_z=-\dfrac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0h^2} =-6.24\times10^{-5}\,\mathrm N \]

よくある誤解

確認問題

  1. 直交二平面で $(+Q,-Q,-Q,+Q)$ の符号配置が両方の接地条件を満たすことを示せ。
  2. 接地球の $Q'$ と $d'$ を球面上の電位へ代入し、$V=0$ を示せ。
  3. $\vec H_{\alpha}$ の鏡像係数を求め、$\alpha=1/2$ で開領域解へ戻ることを示せ。
問1のヒントを見る

ヒント: $x=0$ と $y=0$ で、どの二点までの距離が等しくなるかを組にする。

解答: 各境界で実電荷と一つ目の負映像、残る負映像と二度反射した正映像がそれぞれ相殺する。

問2のヒントを見る

ヒント: 球面点と実電荷・映像電荷の距離比は $d/A$ で一定になる。

解答: $Q'=-(A/d)Q$ が距離比をちょうど打ち消すため、球面全体で二つの電位項の和が0になる。

問3のヒントを見る

ヒント: $\vec H_{\mathrm D}=\vec H_{\mathrm s}-\vec H_{\mathrm i}$ と $\vec H_{\mathrm N}=\vec H_{\mathrm s}+\vec H_{\mathrm i}$ を $\vec H_{\alpha}$ へ代入する。

解答: 鏡像係数は $2\alpha-1$ であり、$\alpha=1/2$ では0になる。実電流の係数は常に1なので、$\vec H_{\alpha}=\vec H_{\mathrm s}$ が残る。

今回のまとめ