学部で学ぶ電磁気学　第6章

6.1　磁化

この節では、磁化を、対応する式と操作できる3D教材を行き来しながら確かめます。

磁化の3D教材を見る

3Dで学ぶ電磁気学

第6章教材　磁性体・磁化・境界条件

学部で学ぶ電磁気学第6章に対応

到達目標

$\vec B$、$\vec H$、$\vec M$ の役割を分けられる。
形状による自己減磁界を説明できる。
透磁率境界で磁力線が曲がる理由を境界条件から説明できる。
磁極間の引力・斥力と距離二乗反比例を説明できる。

動かす量

磁化率 $\chi_m$ と反磁界係数 $N_d$
外部磁界 $H_0$
二媒質の透磁率比と入射角

見る順序

外部磁界と内部磁界を分ける。
磁化が作る束縛電流を見る。
境界の法線・接線成分を照合する。
磁極の符号と距離を変え、力の向きと大きさを確かめる。

電磁気学の理解実験

同じ材料でも、細長い形と薄い形で磁化しやすさが違うのはなぜか

確認: 材料の磁化率を固定したまま反磁界係数を大きくしたとき、$M$、$H$、$B$ がどう変化するか確かめます。

操作: 6.1〜6.6で材料と形状を分けて動かし、透磁率境界を横切る磁力線の向きを確認します。続いて6.7で磁極の符号と距離を変えます。

観察後に式で確認する

形状が作る自己減磁界 $-N_d\vec M$ により、内部磁界は外部磁界より小さくなります。材料定数だけでなく形状も磁化の大きさを決めます。

磁化は材料応答、自己減磁界は形状応答

SI単位系では、磁束密度、磁界、磁化を

\vec B=\mu_0(\vec H+\vec M), \qquad \vec M=\chi_m\vec H

で結びます。一様磁化した楕円体を外部磁界 $\vec H_0$ と同じ向きに置く単純モデルでは、形状に依存する反磁界係数 $N_d$ を使って

\vec H=\vec H_0-N_d\vec M, \qquad \vec M=\dfrac{\chi_m}{1+N_d\chi_m}\vec H_0, \qquad \vec H=\dfrac{1}{1+N_d\chi_m}\vec H_0

となります。細長い形では磁化方向の $N_d$ が小さく、薄板の厚さ方向では大きくなります。均一磁化 $\vec M$ は表面束縛電流 $\vec K_m=\vec M\times\vec n$ と等価に見なせ、最初のCanvasでは物体表面を回る電流として表示します。

可視化 6.1・6.2・6.6　回転楕円体の磁化・磁化電流・自己減磁界

一様磁化した回転楕円体では、磁化軸方向の反磁界係数 $N_z$ を形状から一意に定められます。縦横比 $c/a$ を変えると、物体の形、表面を回る $\vec K_m$、磁化と逆向きの $\vec H_{\mathrm d}$ が同時に変わります。

\vec H_{\mathrm d}=-N_z\vec M, \qquad \vec H=\vec H_0+\vec H_{\mathrm d}, \qquad \vec M=\chi_m\vec H, \qquad \vec K_m=\vec M\times\vec n

形状 $c/a$ 磁化率 $\chi_m$ 外部磁界 $H_0$ [A/m] 視点

緑：磁化 $\vec M$ 紫：表面磁化電流 $\vec K_m$ 青：外部磁界 $\vec H_0$ 赤：自己減磁界 $\vec H_{\mathrm d}$

可視化 6.1・6.3・6.6　材料応答と反磁界係数を切り分ける

磁化率 $\chi_m$ 反磁界係数 $N_d$ 外部磁界 $H_0$ [A/m] 視点

透磁率境界では $B_n$ と $H_t$ をつなぐ

表面自由電流がない二媒質の境界では、法線磁束密度と接線磁界が連続です。

\vec n\cdot(\vec B_2-\vec B_1)=0, \qquad \vec n\times(\vec H_2-\vec H_1)=\vec 0

$\theta_i$ を磁束密度 $\vec B_i$ と境界法線のなす角とすると、線形等方媒質では

B_{1n}=B_{2n}, \qquad \dfrac{B_{1t}}{\mu_1}=\dfrac{B_{2t}}{\mu_2}, \qquad \tan\theta_2=\dfrac{\mu_2}{\mu_1}\tan\theta_1

です。高透磁率側では磁力線が境界に沿う向きへ曲がります。ただし、磁力線の本数を増やすだけでなく、$B_n$ と $H_t$ のどちらが連続かを区別することが重要です。

可視化 6.4　透磁率境界で曲がる磁力線

透磁率比 $\mu_2/\mu_1$ 媒質1側の角度 $\theta_1$ 視点

発展可視化 6.5　B入力とH入力のplay modelは同じ仮定ではない

Hysteresis modelをFEMへ入れるとき、入力を $B$ とするか $H$ とするかは単なる変数名の交換ではありません。play modelを一般化した入力 $x$、出力 $y$ で書くと

y(x)=\sum_{k=1}^{2N}f_k\{p_k(x)\}, \qquad p_k(x)=\max\{\min(p_k^0,x+\zeta_k),x-\zeta_k\}

です。$p_k$ は幅 $\zeta_k$ を持つplay hysteron、$f_k$ は測定loopから同定するshape functionです。

B入力: $x=B, y=H$。同じ $B$ 入力範囲のminor loopは、$H$ 方向へ平行移動すると同じ形になるという H軸方向congruency を組み込みます。未知量から $\vec B=\nabla\times\vec A$ を得る $A$-$\phi$ 系FEMと接続しやすい組合せです。
H入力: $x=H, y=B$。同じ $H$ 入力範囲のminor loopは、$B$ 方向へ平行移動すると同じ形になるという B軸方向congruency を組み込みます。$\vec H$ を基本にする $T$-$\Omega$ 系FEMと接続しやすい組合せです。

2026年のCOMPUMAG投稿論文では、無方向性電磁鋼板の実測minor loopを比較し、H軸方向にはcongruencyがあり、B軸方向にはincongruencyがあることを定量的に示しています。その結果、B入力play modelはH軸方向congruencyとB軸方向incongruencyを同時に再現し、H入力play modelより測定loopを高精度に表現しました。これは「B入力なら常に正しい」という一般則ではなく、対象材料のloop familyがどちらのcongruencyを持つかを測定し、数値定式化と整合するmodelを選ぶべきだという結論です。

Canvasは論文の実測値を転載したものではありません。三つの同形minor loopを $H$ 方向へ移動した正規化教材データです。中央loopを基準に、H方向平行移動を許すB入力modelと、B方向平行移動だけを許すH入力modelを比較します。

\varepsilon_H =\min_{\Delta H}\sqrt{\dfrac1M\sum_{i=1}^{M} \left\|\vec c_j(t_i)-(\vec c_0(t_i)+(\Delta H,0))\right\|^2},

\varepsilon_B =\min_{\Delta B}\sqrt{\dfrac1M\sum_{i=1}^{M} \left\|\vec c_j(t_i)-(\vec c_0(t_i)+(0,\Delta B))\right\|^2}

を表示し、どちらの平行移動でloop familyが重なるかを数値でも判定します。

動作点のずれ履歴幅比較するマイナーループ

動かして確かめる順序。 動作点のずれを0にすると二つのmodel差は見えません。ずれを増やすと、H方向へ位置合わせする中央panelではloopが重なり続けますが、B方向だけで位置合わせする右panelでは横ずれが残ります。次にhysteresis幅を変え、loop面積とcongruencyの判定が別の性質であることを確認してください。最後に、FEMの未知量だけでmodelを選ばず、実測材料のminor-loop familyを先に調べる理由を説明してください。

可視化 6.7　磁気に関するクーロンの法則

磁化した物体の端に現れる正負の磁極を、磁極強さ $m_1,m_2$ を持つ点として近似します。真空中で磁極1が距離 $d$ の磁極2へ作る磁界と、磁極2に働く力は

\vec H_1(P)=\frac{m_1}{4\pi d^2}\vec e_R, \qquad \vec F_2=\mu_0m_2\vec H_1(P) =\frac{\mu_0m_1m_2}{4\pi d^2}\vec e_R

となります。同符号なら斥力、異符号なら引力です。距離を変え、力が $1/d^2$ に従うことを3Dの方向と規格化した数値の両方で確認します。ここで磁極は磁化分布を理解するための等価モデルであり、単独の磁極を実在粒子として扱う図ではありません。

比較するモデル磁極の組距離 $d/d_0$ 強さ $|m|/m_0$

青：磁極1が磁極2の位置に作る $\vec H_1(P)$ 赤：二つの磁極に働く力橙：磁極1から磁極2への $\vec R$

例題と理解確認

$\chi_m=19$、$N_d=0.10$ の楕円体を $H_0=300\,\mathrm{A/m}$ に置くと、

H=\dfrac{300}{1+0.10\times19}=103.4\,\mathrm{A/m}, \qquad M=19H=1.97\times10^3\,\mathrm{A/m}

です。同じ材料でも $N_d$ を大きくすると磁化は小さくなります。

よくある誤解

$\vec B$ と $\vec H$ は同じ量ではありません。材料応答 $\vec M$ を介して結ばれます。
透磁率が大きいだけで、あらゆる形状が同じように磁化されるわけではありません。
境界で連続なのは一般に $B_n$ と $H_t$ であり、$\vec B$ 全体や $\vec H$ 全体ではありません。

確認問題

$N_d\to0$ と $N_d\to1$ で内部磁界がどう変わるか。
$\mu_2/\mu_1=4$、$\theta_1=30^\circ$ のとき $\theta_2$ を求めよ。
一様磁化した物体の表面束縛電流の向きを $\vec M\times\vec n$ から説明せよ。

問1のヒントを見る

ヒント: $H=H_0/(1+N_d\chi_m)$ を使います。

解答: $N_d\to0$ では $H\to H_0$ となり、$N_d$ が大きいほど自己減磁界が強くなって内部磁界 $H$ は小さくなります。

問2のヒントを見る

ヒント: $\tan\theta_2=(\mu_2/\mu_1)\tan\theta_1$ を使います。

解答: $\theta_2=\tan^{-1}(4\tan30^\circ)\simeq66.6^\circ$ です。

問3のヒントを見る

ヒント: 表面の各点で外向き法線 $\vec n$ と磁化 $\vec M$ の外積を取ります。

解答: $\vec K_m=\vec M\times\vec n$ が表面電流の向きを与え、全体として磁化軸を回るソレノイド状の電流になります。

今回のまとめ

$\vec B$、$\vec H$、$\vec M$ は異なる量であり、材料応答と形状による自己減磁界を分けて考える。
表面自由電流のない透磁率境界では $B_n$ と $H_t$ が連続し、その条件から磁力線の曲がり方が決まる。
等価磁極モデルでは、同符号は斥力、異符号は引力で、力の大きさは距離の二乗に反比例する。
hysteresis modelはFEMの未知量だけで選ばず、実測minor-loop familyのcongruencyと数値定式化の両方に整合させる。

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