3Dで学ぶ電磁気学

第3章教材　誘電体と境界条件

線形・等方性誘電体では

と書きます。二材料の界面に自由表面電荷 $\sigma_{\mathrm f}$ があるとき、微小な柱と長方形経路から

が得られます。界面へ垂直に電界が通り、自由表面電荷がなければ $D_{1n}=D_{2n}=D_n$ です。厚さを $d_1,d_2$、全電圧を $V_0$ とすると

です。面積 $S$ の電極なら

となり、二つの平行平板コンデンサの直列接続と同じ形です。

一般の向きを一つの式で比較するため、可視化では界面法線を $\vec n$、界面内の接線方向を $\vec t$ とし、媒質1側の電界を

と置きます。自由界面電荷を0とすると、媒質2側は

です。$\theta_1=0^\circ$、$90^\circ$、$45^\circ$ が、それぞれ「界面が電界に垂直」「平行」「斜め」に対応します。

線形誘電体が蓄える電気エネルギー密度は

です。界面に垂直な場では共通の $D_n$ に対して $u_{\mathrm e}=D_n^2/(2\varepsilon)$、平行な場では共通の $E_t$ に対して $u_{\mathrm e}=\varepsilon E_t^2/2$ です。同じ「誘電率を大きくする」操作でも、固定される境界量によってエネルギー密度の変化が逆になる点を、図中の桃色の柱で比べます。

可視化 3.1〜3.6　二誘電体の電束・電界・分極・蓄積エネルギー

この図は、無限に広い平面界面の近くを取り出した局所境界モデルです。法線 $\vec n$ は媒質1から媒質2へ向き、自由表面電荷は $\sigma_f=0$、束縛表面電荷は $\sigma_b=(\vec P_1-\vec P_2)\cdot\vec n$ としています。$V_{\mathrm{ref}}$ は特定の有限コンデンサの端子電圧そのものではなく、$E_0=V_{\mathrm{ref}}/L_{\mathrm{ref}}$ で局所電界尺度を決める電位差です。これを2倍にすると、線形誘電体では $\vec E$、$\vec D$、$\vec P$、$\sigma_b$ が2倍、桃色の柱が表す $u_{\mathrm e}$ は4倍になります。矢印と柱は全操作で共通の固定尺度を使います。青緑・紫・橙の矢印を異なる $z$ 高さへ置いたのは読み分けるための表示レーンであり、各量が別の物理層だけに存在する意味ではありません。斜め状態で見える屈折は境界条件による静電場の向きの変化であり、光線の時間伝播ではありません。直列コンデンサの電圧分担式は、三状態のうち「界面 $\perp\vec E$」に対応します。

可視化 3.7　誘電体境界面に働く力

境界条件が分かると、界面両側の電気的な応力差から界面力を求められます。媒質1から媒質2へ向く法線を $\vec n$ とし、$\varepsilon_1>\varepsilon_2$ とします。電界が界面に垂直で自由表面電荷がない場合は $D_{1n}=D_{2n}=D$ なので、単位面積あたりの力は

です。電界が界面に平行な場合は $E_{1t}=E_{2t}=E$ なので

です。どちらも $\varepsilon_1>\varepsilon_2$ なら $f_n>0$ となり、界面は高誘電率側から低誘電率側へ押されます。

この図は平面界面の局所モデルで、表示する $f_n$ は単位面積あたりの力です。実際の物体全体に働く力を求めるには、界面上の分布を面積積分し、端部で乱れる電界も含めます。